Correzione esercizio problema di Cauchy

[Marco Beta2]

Buonasera a tutti, sto svolgendo un esercizio del tipo anticipato nel titolo e sto trovando delle difficoltà/dubbi però sono riuscito ad arrivare ad una soluzione e spero nel vostro aiuto per una correzione
Di seguito vi elenco traccia e svolgimento:

${ ( y''+y=1/(sen (x)) ),( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ):}$

Studio l'equazione associata:

$lambda^2 +1 =0 $

$lambda +- i$ e $alpha=0$ e $beta=1$

$y(x)=C1 cos(x) +C2 sen(x) + V_0$ e da qui mi ricavo $y1= cos(x)$, $y'1=- sen x$ , $y2=sen x$, $y'2=cos x$ e $V_0= gamma_1*y1 + gamma_2*y2$

${ ( gamma_1' cos x + gamma_2' sen x =0 ),( -gamma_1' sen x + gamma_2' cos x = 1/(sen x) ):}$

${ ( gamma_1' = - (gamma_2' sen x)/cos x),( (+gamma_2' sen^2 x) /(cos x) + gamma_2' cos x - 1/(sen x)= 0 ):}$

Studio la seconda equazione:

$ (+gamma_2' sen^3 x +gamma_2' cos^2 x sen x - cos x)/(cos x sen x) =0$

$gamma_2' sen x(sen^2 x + cos^2 x)-cos x =0$

$gamma_2' sen x - cos x =0 $

$gamma_2'= cos x / (sen x) $

Sostituisco nella prima equazione:

$gamma_1' =(((-cos x /(sen x))* (sen x) )/ cos x) $

$gamma_1' = -1 $

Calcolo $gamma_1$:

$gamma_1=int(cos x /(sen x)) dx = ln |sen x |+ c$

Calcolo $gamma_2$:

$gamma_1=int -1 dx = -x +c$

Sostituisco tutto nella $y(x)$ ottenendo:

$y(x)= C1 cos x + C2 sen x - x cos x + ln|sen x| sen x$

A questo punto derivata e condizioni iniziali però prima di procedere aspetto un vostro feedback
Grazie a tutti coloro che mi daranno una mano

[dissonance]

Non aspettare il feedback. Controlla che l'espressione che hai trovato sia effettivamente una soluzione dell'equazione differenziale. Fare i conti a mano è oggettivamente una seccatura; usa un software. In Maple, ad esempio, dovresti digitare

f:=x-> C1*cos(x)+C2*sin(x)-x*cos(x)+cos(x); 
diff(f(x), x$2) + f(x)=1/sin(x); 
simplify(%);

Se ottieni una tautologia la tua soluzione è corretta, altrimenti non lo è.

Giocare in questo modo con le soluzioni è l'unico modo di imparare le equazioni, di ogni tipo, algebriche o differenziali.

[Marco Beta2]

"dissonance":...

Ciao dissonance e grazie per la risposta dopo la tua risposta ho provato a risolvere con wolfram (ho visto che Maple è a pagamento ma sembra veramente un bello strumento) e il risultato si trova spero solo di non aver fatto passaggi non consentiti...
Grazie ancora

P.s.
cosa intendevi prima per "ottenere una tautologia"?
Grazie

[feddy]

Mi intrometto

"Marco Beta2":
cosa intendevi prima per "ottenere una tautologia"?
Grazie

La risposta è nella riga di codice

diff(f(x), x$2) + f(x)=1/sin(x); 

Non ricordo se l'output di Maple sia un booleano o no...insomma verifica che l'espressione simbolica soddisfi l'uguaglianza

[dissonance]

Esatto feddy, grazie. L'output di Maple è una formula, e io, che sono un utonto rozzone, verifico a occhio che i due membri siano uguali. Il comando

simplify(%);

aiuta. Se l'output è molto complicato, uso un metodo ancora più scrauso, ovvero

plot(rhs(%)-lhs(%), x=-1..1);

e se mi viene il grafico della costante \(0\) allora mi considero soddisfatto, altrimenti significa che c'è qualcosa che non va.

@Marco: io uso Maple per abitudine, mi hanno insegnato quello all'università. Se dovessi imparare un software da zero, oggi, mi orienterei su SAGE e sul linguaggio Python.