Correzione esercizi su successioni e serie di funzioni
ciao, avrei bisogno che qualcuno mi corregga gli esercizi del file in allegato
1)
i) E=R (campo dei reali) poiché per x=0 fn(x)=0, per x diverso da 0 fn(x) converge a pigreco/4
ii) la convergenza non è uniforme in E poiché lo è in (-infinito,-a] U [a,+infinito) con a>0.
iii) per a>0
iv) per b>pigreco
2)
i) E=(3,infinito)
ii) non converge uniformemente in E poiché per x->3+ la serie diverge nonostante x appartenga a E.
iii) la convergenza è uniforme in [4,+infinito).
grazie
1)
i) E=R (campo dei reali) poiché per x=0 fn(x)=0, per x diverso da 0 fn(x) converge a pigreco/4
ii) la convergenza non è uniforme in E poiché lo è in (-infinito,-a] U [a,+infinito) con a>0.
iii) per a>0
iv) per b>pigreco
2)
i) E=(3,infinito)
ii) non converge uniformemente in E poiché per x->3+ la serie diverge nonostante x appartenga a E.
iii) la convergenza è uniforme in [4,+infinito).
grazie
Risposte
Di solito, quando si chiede di "correggere" un lavoro, c'è bisogno di mostrarlo, quel lavoro.
In altre parole, avremmo bisogno di vedere i tuoi tentativi.
In altre parole, avremmo bisogno di vedere i tuoi tentativi.
diciamo che vorrei sapere se le mie conclusioni sono giuste cmq integrerò un po' le mie risposte.
1)
fn(0)=0
fn(x) con x diverso da 0 per n->+infinito è asintotico a arctan(nx/nx)=arctan(1)=pigreco/4
quindi per n->+infinito fn(x)-> a 0 per x=0 oppure a pigreco/4 per x diverso da 0 perciò E=R
Chiamiamo f(x) il limite di fn(x) per n->+infinito.
Non si ha convergenza uniforme in E perché il sup, per x appartenente ad E, di |fn(x)-f(x)|, che è nell'intorno destro e sinistro di x=0, tende a pigreco/4 per n->+infinito. infatti nell'intorno di x=0, fn(x) tende a 0 mentre f(x)=pigreco/4 quindi modulo della differenza=pi/4.
per avere uniforme continuità escludiamo quindi l'intorno di 0. perciò converge uniformemente in (-infinito,-a] U [a,+infinito) con a>0.
sono giunto solo ora alla conclusione che potrebbe essere uniformemente convergente anche nell'insieme {0}
il punto iii) e iv) vengono di conseguenza.
2)
sommatoria di 1/[n(logn)^(x-2)]. per far sì che la serie converga l'esponente del logaritmo dev'essere maggiore di 1 quindi x>3. perciò E=(3,infinito).
la serie non converge uniformemente in E poiché per x->3+ la serie diverge nonostante x appartenga a E.
quindi converge uniformemente in [a,+infinito) con a>3
il punto iv) viene di conseguenza.
spero possa essere sufficiente... grazie
1)
fn(0)=0
fn(x) con x diverso da 0 per n->+infinito è asintotico a arctan(nx/nx)=arctan(1)=pigreco/4
quindi per n->+infinito fn(x)-> a 0 per x=0 oppure a pigreco/4 per x diverso da 0 perciò E=R
Chiamiamo f(x) il limite di fn(x) per n->+infinito.
Non si ha convergenza uniforme in E perché il sup, per x appartenente ad E, di |fn(x)-f(x)|, che è nell'intorno destro e sinistro di x=0, tende a pigreco/4 per n->+infinito. infatti nell'intorno di x=0, fn(x) tende a 0 mentre f(x)=pigreco/4 quindi modulo della differenza=pi/4.
per avere uniforme continuità escludiamo quindi l'intorno di 0. perciò converge uniformemente in (-infinito,-a] U [a,+infinito) con a>0.
sono giunto solo ora alla conclusione che potrebbe essere uniformemente convergente anche nell'insieme {0}
il punto iii) e iv) vengono di conseguenza.
2)
sommatoria di 1/[n(logn)^(x-2)]. per far sì che la serie converga l'esponente del logaritmo dev'essere maggiore di 1 quindi x>3. perciò E=(3,infinito).
la serie non converge uniformemente in E poiché per x->3+ la serie diverge nonostante x appartenga a E.
quindi converge uniformemente in [a,+infinito) con a>3
il punto iv) viene di conseguenza.
spero possa essere sufficiente... grazie
Scusate cosa dovrei fare per avere una risposta?
...
Mi sembra sostanzialmente corretto: il punto ii) del primo esercizio dovresti spiegarlo meglio ma ti assicuro che non hai convergenza uniforme in zero (mentre è vero quello che dici sugli intervalli).
Per il secondo esercizio: da cosa deduci questa condizione per l'esponente del logaritmo? Se lo fai perché così il limite del termine generale risulti infinitesimo, sappi che non è sufficiente, hai bisogno anche di un qualche criterio di convergenza per capire bene come si comporti quella serie.
Per il secondo esercizio: da cosa deduci questa condizione per l'esponente del logaritmo? Se lo fai perché così il limite del termine generale risulti infinitesimo, sappi che non è sufficiente, hai bisogno anche di un qualche criterio di convergenza per capire bene come si comporti quella serie.
Innanzitutto grazie x la risposta
Nel secondo esercizio impongo l'esponente del logaritmo maggiore di uno poiché so che una sommatoria di termini che tendono a 0 più velocemente di 1/(n*logn), converge.
sum 1/(n^a*(logn)^b) converge per a>0 e qualunque b oppure per a=1 e b>1
Nel secondo esercizio impongo l'esponente del logaritmo maggiore di uno poiché so che una sommatoria di termini che tendono a 0 più velocemente di 1/(n*logn), converge.
sum 1/(n^a*(logn)^b) converge per a>0 e qualunque b oppure per a=1 e b>1
Ok, detto così va già meglio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo