Correzione compito di analisi 2
Posto il testo dell'esame di analisi 2 che ho dato qualche giorno fa e il mio svolgimento; se qualcuno gentilmente me le ricontrollasse ve ne sarei grato.
1) Studiare la convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale di questa serie di funzioni. $\sum(-1)^n \frac{(2^x)^n}{\sqrt{1+\sqrt{n}}}$
Purtroppo l'ho fatto alla fine, quindi ho avuto appena il tempo di abbozzarlo. Ho scritto che è una serie geometrica a segno alterno di ragione $2^x$ quindi converge assolutamente in |2^x| < 1, ossia per x<0 mentre diverge per x>0. Naturalmente essendo a segni alterni non diverge ma sarà indeterminata. In x = 0 diventa $\sum(-1)^n \frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{n}}}$ che per il criterio di Leibnitz converge puntualmente. Poi purtroppo all'esame mi sono fermato qui.
2) Studiare continuità e derivabilità della seguente funzione: $f(x,y)$ che vale $\frac{|x|\sqrt{|y|}}{(x^2+y^2)^2}$ in tutti i punti del piano eccetto l'origine in cui la funzione vale 0.
Calcolo subito il limite per (x,y) --> (0,0) e si constata che la funzione è discontinua in quanto tale limite vale +∞ (diverso da zero).
Calcolo le derivate parziali: $f_{x}=\frac{x\sqrt{|y|}(1-4x^4-4x^2y^2)}{|x|(x^2+y^2)^4}$ e $f_{y}=\frac{y(|x|-8xy^4-8x^3y^2)}{2|y|\sqrt{|y|}(x^2+y^2)^4}$ e tali funzioni sono derivabili in tutto il piano meno rispettivamente l'asse y e l'asse x.
3) Calcolare il seguente integrale: $\int\int_{D}\frac{x^2y}{x^2+y^2}dxdy$ ove il dominio D è la regione di piano tale che y <= x e 1<= x^2+y^2 <= 9, ossia la parte inferiore della corona circolare di raggio minore 1 e raggio maggiore 3 secata dalla bisettrice del primo e terzo quadrante. Si passa a coordinate polari (x = ρcosΘ, y = ρsinΘ) con ρ compreso tra 1 e 3 e theta tra -3/4 pigreco e pigreco/4 e si trasforma il dominio D nel dominio T.
Quindi l'integrale diventa $\int_{T}\int \frac{\rho^2 cos^2\theta\rho sin\theta}{\rho^2 cos^2\theta+\rho^2 {sin^2\theta}}\rho\cdot d\rho d\theta$ dove ρ prima di dρ e dΘ è naturalmente lo jacobiano. Svolgendo i calcoli viene $\int_{1}^{3}d\rho \int_{\frac{-3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\rho^4 cos^2\thetasin\theta}{\rho^2(cos^2\theta+sin^2\theta)}d\theta= \int_{1}^{3}\rho^2 d\rho\int_{\frac{-3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}cos^2\theta sin\thetad\theta=\int_{1}^{3}\rho^2[\frac{-cos^3(\frac{\pi}{4})-(-cos^3(\frac{-3\pi}{4}})){3}]d\rho = -\frac{13\sqrt{2}}{9}$
1) Studiare la convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale di questa serie di funzioni. $\sum(-1)^n \frac{(2^x)^n}{\sqrt{1+\sqrt{n}}}$
Purtroppo l'ho fatto alla fine, quindi ho avuto appena il tempo di abbozzarlo. Ho scritto che è una serie geometrica a segno alterno di ragione $2^x$ quindi converge assolutamente in |2^x| < 1, ossia per x<0 mentre diverge per x>0. Naturalmente essendo a segni alterni non diverge ma sarà indeterminata. In x = 0 diventa $\sum(-1)^n \frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{n}}}$ che per il criterio di Leibnitz converge puntualmente. Poi purtroppo all'esame mi sono fermato qui.
2) Studiare continuità e derivabilità della seguente funzione: $f(x,y)$ che vale $\frac{|x|\sqrt{|y|}}{(x^2+y^2)^2}$ in tutti i punti del piano eccetto l'origine in cui la funzione vale 0.
Calcolo subito il limite per (x,y) --> (0,0) e si constata che la funzione è discontinua in quanto tale limite vale +∞ (diverso da zero).
Calcolo le derivate parziali: $f_{x}=\frac{x\sqrt{|y|}(1-4x^4-4x^2y^2)}{|x|(x^2+y^2)^4}$ e $f_{y}=\frac{y(|x|-8xy^4-8x^3y^2)}{2|y|\sqrt{|y|}(x^2+y^2)^4}$ e tali funzioni sono derivabili in tutto il piano meno rispettivamente l'asse y e l'asse x.
3) Calcolare il seguente integrale: $\int\int_{D}\frac{x^2y}{x^2+y^2}dxdy$ ove il dominio D è la regione di piano tale che y <= x e 1<= x^2+y^2 <= 9, ossia la parte inferiore della corona circolare di raggio minore 1 e raggio maggiore 3 secata dalla bisettrice del primo e terzo quadrante. Si passa a coordinate polari (x = ρcosΘ, y = ρsinΘ) con ρ compreso tra 1 e 3 e theta tra -3/4 pigreco e pigreco/4 e si trasforma il dominio D nel dominio T.
Quindi l'integrale diventa $\int_{T}\int \frac{\rho^2 cos^2\theta\rho sin\theta}{\rho^2 cos^2\theta+\rho^2 {sin^2\theta}}\rho\cdot d\rho d\theta$ dove ρ prima di dρ e dΘ è naturalmente lo jacobiano. Svolgendo i calcoli viene $\int_{1}^{3}d\rho \int_{\frac{-3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\rho^4 cos^2\thetasin\theta}{\rho^2(cos^2\theta+sin^2\theta)}d\theta= \int_{1}^{3}\rho^2 d\rho\int_{\frac{-3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}cos^2\theta sin\thetad\theta=\int_{1}^{3}\rho^2[\frac{-cos^3(\frac{\pi}{4})-(-cos^3(\frac{-3\pi}{4}})){3}]d\rho = -\frac{13\sqrt{2}}{9}$
Risposte
una cosa sul primo punto...
mi ricordavo (ma forse sbaglio) che una serie a termini alterni del tipo
$sum (-1)^n*a_n$ converge qualora $a_n darr 0$...
e nell'insieme di convergenza $x<0$ $a_n = (2^x)^n/sqrt(1+sqrt(n))$ mi pare tenda a zero..
inoltre essendo una serie di funzioni converge anche uniformemente oltre che puntualmente...
magari mi sbaglio eh..attendo pareri più esperti ^_^
mi ricordavo (ma forse sbaglio) che una serie a termini alterni del tipo
$sum (-1)^n*a_n$ converge qualora $a_n darr 0$...
e nell'insieme di convergenza $x<0$ $a_n = (2^x)^n/sqrt(1+sqrt(n))$ mi pare tenda a zero..
inoltre essendo una serie di funzioni converge anche uniformemente oltre che puntualmente...
magari mi sbaglio eh..attendo pareri più esperti ^_^
"Chicco_Stat_":
una cosa sul primo punto...
mi ricordavo (ma forse sbaglio) che una serie a termini alterni del tipo
$sum (-1)^n*a_n$ converge qualora $a_n darr 0$...
Sì, è il criterio di Leibnitz, appunto, che però dà informazioni solo sulla convergenza puntuale. Ma tale criterio ci serve solo per vedere che la funzione converge puntualmente in x=0. Per x<0 si verifica che la ragione diventa inferiore a uno e quindi converge assolutamente (conv. assoluta implica conv. puntuale).
inoltre essendo una serie di funzioni converge anche uniformemente oltre che puntualmente...
Eh? La convergenza uniforme di una serie di funzioni è legata alla convergenza uniforme della successione associata.
Innanzitutto quella non è una serie geometrica.
Poi applicando Leibniz per x<0 ottieni oltre alla convergenza puntuale anche quella uniforme, prchè Leibniz dà una maggiorazione al modulo del resto.
Ho fatto ad occhio quindi non assicuro nulla.
Poi applicando Leibniz per x<0 ottieni oltre alla convergenza puntuale anche quella uniforme, prchè Leibniz dà una maggiorazione al modulo del resto.
Ho fatto ad occhio quindi non assicuro nulla.
"Megan00b":
Innanzitutto quella non è una serie geometrica.
Ma sostituendo x ottengo un numero (2^x, appunto) e quindi diventa una geometrica. Oppure essendo a segno alterno non vale ?
no il problema è quella roba al denominatore.
Una geometrica ha il termine generale del tipo $(k)^n$
con k costante. Questa è una roba mista che contiene una geometrica quindi ne "eredita" un po' l'andamento ma fino ad un certo punto.
Una geometrica ha il termine generale del tipo $(k)^n$
con k costante. Questa è una roba mista che contiene una geometrica quindi ne "eredita" un po' l'andamento ma fino ad un certo punto.
Porca trota! ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Insomma ho capito il primo l'ho sbagliato...
Però gli altri due mi sembrano corretti, che ne dite?
Insomma ho capito il primo l'ho sbagliato...
Però gli altri due mi sembrano corretti, che ne dite?
"Megan00b":
Innanzitutto quella non è una serie geometrica.
Poi applicando Leibniz per x<0 ottieni oltre alla convergenza puntuale anche quella uniforme, prchè Leibniz dà una maggiorazione al modulo del resto.
ecco, esattamente quel che dicevo io, anche se meno rigorosamente
Solo una domanda:
e che ti frega?
"bobafett":
Calcolo le derivate parziali: $f_{x}=\frac{x\sqrt{|y|}(1-4x^4-4x^2y^2)}{|x|(x^2+y^2)^4}$ e $f_{y}=\frac{y(|x|-8xy^4-8x^3y^2)}{2|y|\sqrt{|y|}(x^2+y^2)^4}$ e tali funzioni sono derivabili in tutto il piano meno rispettivamente l'asse y e l'asse x.
e che ti frega?
"Megan00b":
Solo una domanda:
[quote="bobafett"]
Calcolo le derivate parziali: $f_{x}=\frac{x\sqrt{|y|}(1-4x^4-4x^2y^2)}{|x|(x^2+y^2)^4}$ e $f_{y}=\frac{y(|x|-8xy^4-8x^3y^2)}{2|y|\sqrt{|y|}(x^2+y^2)^4}$ e tali funzioni sono derivabili in tutto il piano meno rispettivamente l'asse y e l'asse x.
e che ti frega?[/quote]
Sì, hai ragione, intendevo dire che la funzione è derivabile in tutto il piano meno (0,0) in quanto è un punto di discontinuità. E' giusto?
Cosa succede alle derivate parziali che hai calcolato in un punto del tipo (x,y)=(a,0) oppure (0,b) ???
Te lo dico io perchè devo andar via: sugli assi le derivate non esistono entrambe (se hai fatto i conti giusti: io non li ho controllati). Quindi è derivabile sul piano meno gli assi.
edit: l'integrale viene così anche a me.
"Megan00b":
Te lo dico io perchè devo andar via: sugli assi le derivate non esistono entrambe (se hai fatto i conti giusti: io non li ho controllati). Quindi è derivabile sul piano meno gli assi.
A questo punto ho paura di aver scritto sul compito che le derivate non sono derivabili in quei punti, non che la funzione non è derivabile nel piano meno gli assi...
Comunque grazie per l'attenzione.
"Chicco_Stat_":
edit: l'integrale viene così anche a me.
Grazie anche a te per l'interessamento, in effetti riguardo l'integrale ero abbastanza sicuro di averlo svolto correttamente, almeno uno...
"bobafett":
[quote="Chicco_Stat_"]edit: l'integrale viene così anche a me.
Grazie anche a te per l'interessamento, in effetti riguardo l'integrale ero abbastanza sicuro di averlo svolto correttamente, almeno uno...[/quote]
sicuro del dominio di $theta$ ?
"leev":
[quote="bobafett"][quote="Chicco_Stat_"]edit: l'integrale viene così anche a me.
Grazie anche a te per l'interessamento, in effetti riguardo l'integrale ero abbastanza sicuro di averlo svolto correttamente, almeno uno...[/quote]
sicuro del dominio di $theta$ ?[/quote]
Sì, sono gli angoli formati dalla bisettrice del primo e terzo quadrante.
"bobafett":
[quote="leev"][quote="bobafett"][quote="Chicco_Stat_"]edit: l'integrale viene così anche a me.
Grazie anche a te per l'interessamento, in effetti riguardo l'integrale ero abbastanza sicuro di averlo svolto correttamente, almeno uno...[/quote]
sicuro del dominio di $theta$ ?[/quote]
Sì, sono gli angoli formati dalla bisettrice del primo e terzo quadrante.[/quote]
ah, sisi, come non detto
Allora per la serie ecco la soluzione definitiva:
con Leibnitz si trova l'insieme di convergenza puntuale: $]-infty;0];
per confronto con la geometrica $\sum (2^x)^n$ si verifica che la serie converge assolutamente in x<0 in quanto il termine $\frac{1}{\sqrt{\1+\sqrt{n}}}$ è sempre minore o uguale a 1 per n $>=0$ con n che appartiene ai numeri naturali, ovviamente.
Per la cu si calcola $lim(n->+infty)|\frac{(2^x)^n}{\sqrt{\1+\sqrt{n}}}-\frac{(2^x)}{\sqrt{\1+\sqrt{1}}}|$ ed è minore di 1 per $x<=0$, dunque c'è convergenza uniforme in $]-infty;0]$
Per la ct si verifica che $\frac{1}{\sqrt{\1+\sqrt{n}}}\cdot \frac{1}{2^|x|} <= (1/2)^n$ per ogni x<0 e per ogni n>0.
Gli insiemi di convergenza pertanto sono:
cp: $]-infty;0]$
ca: $]-infty;0[$
cu: $]-infty;0]$
ct: $]-infty;0[$
con Leibnitz si trova l'insieme di convergenza puntuale: $]-infty;0];
per confronto con la geometrica $\sum (2^x)^n$ si verifica che la serie converge assolutamente in x<0 in quanto il termine $\frac{1}{\sqrt{\1+\sqrt{n}}}$ è sempre minore o uguale a 1 per n $>=0$ con n che appartiene ai numeri naturali, ovviamente.
Per la cu si calcola $lim(n->+infty)|\frac{(2^x)^n}{\sqrt{\1+\sqrt{n}}}-\frac{(2^x)}{\sqrt{\1+\sqrt{1}}}|$ ed è minore di 1 per $x<=0$, dunque c'è convergenza uniforme in $]-infty;0]$
Per la ct si verifica che $\frac{1}{\sqrt{\1+\sqrt{n}}}\cdot \frac{1}{2^|x|} <= (1/2)^n$ per ogni x<0 e per ogni n>0.
Gli insiemi di convergenza pertanto sono:
cp: $]-infty;0]$
ca: $]-infty;0[$
cu: $]-infty;0]$
ct: $]-infty;0[$
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