Correttezza svolgimento esercizio

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Ciao a tutti!! Sto facendo degli esercizi di analisi e vorrei sapere se questo che ho appena fatto è fatto bene (più che come calcoli vorrei sapere se i "passaggi" sono giusti, e non ho mancato qualcosa)

ESERCIZIO: Dire, per la funzione f, se esiste il piano tangente (o è differenziabile) in ogni punto del suo dominio.
$f(x,y) = sqrt(x^2 +2y)$

-Dominio (D)
Radicando maggiore o uguale a zero, quindi $x^2 + 2y >= 0$ -> $y >= -x^2/2$

-Gradiente
Per trovare il piano tangente devo trovare le derivate parziali, quindi mi trovo il gradiente
$\nabla f(x,y) = (x/sqrt(x^2 + 2y),1/sqrt(x^2 + 2y))$

-Piano tangente
Adesso viene il bello... l'equazione del piano tangente nel punto $(x_0,y_0)$ dovrebbe essere questa
$ z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y - y_0)$
Indi per sostituzione
$z = sqrt(x_0^2 + 2y_0) + (x_0/sqrt(x_0^2 + 2y_0))(x-x_0) + (1/sqrt(x_0^2 + 2y_0))(y-y_0) =$
$= (1/sqrt(x_0^2 + 2y_0))[x_0^2 + 2y_0 + x_0(x - x_0) + (y - y_0)] = (1/sqrt(x_0^2 + 2y_0))(y_0 + xx_0 +y)$

-Dominio (E) piano tangente
Adesso la cosa diventa abbastanza semplice, per motivi di radice e frazione l'argomento della radice al denominaore deve essere maggiore stretto di zero, quindi
$x_0^2 + 2y_0 > 0$ -> $y_0 > -x_0^2/2$
per cui la porzione di dominio in cui è differenziabile è $D nn E = {(x,y) in RR^2 : y > - x^2/2}$

E' tutto corretto? dove ho sbagliato?

[ciampax]

Sì, mi pare funzioni tutto. Ovviamente sulla parabola 8che rappresenta il bordo del dominio) non puoi sperare di ottenere la differenziabilità. Però, e ti invito a provare a disegnarti quello che accade, il piano tangente c'è ed è ortogonale al piano $Oxy$ (un po' per analogia a quello che accade per la funzione $g(x)=\sqrt{x}$ nel punto $x=0$ che non è derivabile, ma ha tangente perpendicolare all'asse $x$, o parallelo all'asse $y$, come preferisci.)