Correttezza dimostrazione

[Chevtchenko]

Sappiamo tutti che $\int_{-oo}^{+oo} e^{-z^2} \dz = \sqrt \pi$. E' corretta la dim che segue?

$(\int_{-oo}^{+oo} e^{-z^2} \dz)^2 = \int_{-oo}^{+oo} e^{-x^2} \dx \int_{-oo}^{+oo} e^{-y^2} \dy = \int_{-oo}^{+oo} \int_{-oo}^{+oo} e^{-(x^2 + y^2)} \dx\dy = \int_0^{2\pi} \d\theta \int_0^{+oo} \rho e^{-\rho^2} \d\rho = \int_0^{2\pi} [-e^{-\rho^2}/2]_0^{+oo} \d\theta = \int_0^{2\pi} 1/2 \d\theta = \pi$

[amel3]

Sì è corretto (omessi i ragionamenti che stanno dietro ai passaggi), a parte un errore di distrazione... Vuoi farmi concorrenza?

[Chevtchenko]

"amel":Sì è corretto (omessi i ragionamenti che stanno dietro ai passaggi), a parte due errori di distrazione... Vuoi farmi concorrenza?

Gia', ho scritto $\sqrt 2$ invece di $\sqrt \pi$... L'altro errore qual e'? Mi e' sfuggito.

[amel3]

Hai ragione, avevo letto male... Scusa, il maestro delle distrazioni sono sempre io...

[Chevtchenko]

I miei dubbi nascevano dal fatto che nelle eguaglianze che ho scritto si eleva al quadrato l'integrale di $e^{-z^2}$ senza che si sappia se quell'integrale esiste (finito) o meno...

[Luca.Lussardi]

In realtà non serve, il Teorema di Fubini funziona anche se l'integrale vale $+\infty$.

[Sk_Anonymous]

"Sandokan.":Sappiamo tutti che $\int_{-oo}^{+oo} e^{-z^2} \dz = \sqrt \pi$. E' corretta la dim che segue?

$(\int_{-oo}^{+oo} e^{-z^2} \dz)^2 = \int_{-oo}^{+oo} e^{-x^2} \dx \int_{-oo}^{+oo} e^{-y^2} \dy = \int_{-oo}^{+oo} \int_{-oo}^{+oo} e^{-(x^2 + y^2)} \dx\dy = \int_0^{2\pi} \d\theta \int_0^{+oo} \rho e^{-\rho^2} \d\rho = \int_0^{2\pi} [-e^{-\rho^2}/2]_0^{+oo} \d\theta = \int_0^{2\pi} 1/2 \d\theta = \pi$

A dire la verità io so che quell'integrale fa $sqrtpi/2$

[Sk_Anonymous]

chiedo scusa,hai ragione.

[avrun]

"Sturmentruppen":[quote="Sandokan."]Sappiamo tutti che $\int_{-oo}^{+oo} e^{-z^2} \dz = \sqrt \pi$. E' corretta la dim che segue?

$(\int_{-oo}^{+oo} e^{-z^2} \dz)^2 = \int_{-oo}^{+oo} e^{-x^2} \dx \int_{-oo}^{+oo} e^{-y^2} \dy = \int_{-oo}^{+oo} \int_{-oo}^{+oo} e^{-(x^2 + y^2)} \dx\dy = \int_0^{2\pi} \d\theta \int_0^{+oo} \rho e^{-\rho^2} \d\rho = \int_0^{2\pi} [-e^{-\rho^2}/2]_0^{+oo} \d\theta = \int_0^{2\pi} 1/2 \d\theta = \pi$

A dire la verità io so che quell'integrale fa $sqrtpi/2$[/quote]

io ho trovato su un libro che la formula corretta è:
$\int_{-oo}^{+oo} e^{-z^2} \dz = \sqrt \pi$
chi ha ragione???

[Sk_Anonymous]

Infatti ho detto in seguito che avevi ragione tu
Faceva $sqrtpi/2$ se era esteso a $RR^+