Correggetemi, please

[Sk_Anonymous]

sia $f: RR^2->RR
$f(x,y)=(xy)/(sqrt(x^2+y^2))sin(1/(x^2+y^2))+y$ se $(x,y)!=(0,0)
=0 se $(x,y)=(0,0)
(ho dimenticato come si mette la graffa per definire funzioni a tratti del genere...)


determinare gli insiemi di continuità, derivabilità a differenziabilità

1) continuità

f è continua in $RR^2\\{(0,0)}$ essendo composta di funzioni continue in tale insieme;
verifichiamo la continuità in (0,0)

$(xy)/(sqrt(x^2+y^2))sin(1/(x^2+y^2))$ può essere convergente se il primo fattore è convergente, essendo il seno una funzione definitivamente limitata per $(x,y)->(0,0)
quindi basta considerare

$lim_((x,y)->(0,0))(xy)/(sqrt(x^2+y^2))

$0<=|xy|/(sqrt(x^2+y^2))<=|xy|/(sqrt(2|xy|))=sqrt(|xy|/2)->0$ per $(x,y)->(0,0)
quindi $f in C(RR^2)

2) derivibilità (consideriamo, per ora, solo la derivata rispetto ad x, perchè è inutile che continuo se è errato il procedimento)
$del/(delx)f(x,y)=y^3/(x^2+y^2)^(3/2)sin(1/(x^2+y^2))-(2x^2y)/(x^2+y^2)^(5/2)cos(1/(x^2+y^2))

inoltre
$del/(delx)f(0,0)=lim_(t->0)(f(t,0)-f(0,0))/t=0=del/(dely)f(0,0)
perciò f è derivabile in (0,0) e $gradf(0,0)=(0,0)

verifichiamo la continuità della derivata parziale in (0,0)
consideriamo i limiti
$lim_((x,y)->(0,0))y^3/(x^2+y^2)^(3/2)$ e $lim_((x,y)->(0,0))(2x^2y)/(x^2+y^2)^(5/2)
risulta:

$|y^3|/(x^2+y^2)^(3/2)=y^2/(x^2+y^2)*|y|/(x^2+y^2)<=y^2/(x^2+y^2)^(1/2)<=(x^2+y^2)/(x^2+y^2)^(1/2)=sqrt(x^2+y^2)->0$ per $(x,y)->(0,0)
e
$(2x^2|y|)/(x^2+y^2)^(5/2)=(2|xy|)/(x^2+y^2)^(1/2)*|x|/(x^2+y^2)^2<=(2|xy|)/(x^2+y^2)^(1/2)<=(2|xy|)/(sqrt(2|xy|))=2/sqrt2*sqrt|xy| ->0$ per $(x,y)->(0,0)

perciò la derivata parziale rispetto ad x è continua in $RR^2

è giusto fino a qui??

[Sk_Anonymous]

ricapitolando:

$f(x,y)={((xy)/(sqrt(x^2+y^2))sin(1/(x^2+y^2))+y),(0):}
se $(x,y)!=(0,0)
se $(x,y)=(0,0)

determinare $XsubeRR^n$ in cui f risulta continua, derivabile e differenziabile

1)continuità
$lim_((x,y)->(0,0))(xy)/(sqrt(x^2+y^2))=0 => lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)=0
perciò $f in C(RR^2)

2) derivabilità se $(x,y)!=(0,0)
$del/(delx)f(x,y)=y^3/(x^2+y^2)^(3/2)sin(1/(x^2+y^2))-(2x^2y)/(x^2+y^2)^(5/2)cos(1/(x^2+y^2))
$del/(dely)f(x,y)=x^3/(x^2+y^2)^(3/2)sin(1/(x^2+y^2))-(2xy^2)/(x^2+y^2)^(5/2)cos(1/(x^2+y^2))

se $(x,y)=(0,0)
$del/(delx)f(0,0)=lim_(t->0)(f(t,0)-f(0,0))/t=lim_(t->0)(0-0)/t=0=del/(dely)f(x,y)
perciò $gradf(0,0)=(0,0)$ e f è derivabile in $RR^2

3)differenziabilità
allora $f in C^1(RR^2)$ e per i th* f è differenziabile in $RR^2

th*: siano $XsubeRR^n$ e $f:X->RR$. se $f in C^1(X)$ allora f è differenziabile in X

il problema è: ho trascurato qualche "dettaglio" nel verificare $f in C^1(RR^2)$?

b)calcolare, se esistono, le derivate direzionali in $(1,1)$

sia $v=(v_1,v_2)
allora $D_vf(1,1)=lim_(t->0)(f(1+tv,1+tv)-f(1,1))/t

ma ricordando che $D_vf(x)=

risulta $D_vf(1,1)=(1/sqrt8sin(1/2)-2/sqrt(32)cos(1/2))(v_1+v_2)

e quindi

$||D_vf(1,1)||=sqrt2(1/sqrt8sin(1/2)-2/sqrt(32)cos(1/2))

[Sk_Anonymous]

allora? tutto giusto è?

avanti che ci vuole a vedere se è giusto il procedimento?? basta un colpo d'occhio per Voi

[amel3]

Addirittura il Voi maiuscolo...
La continuità: giusto.
Il calcolo delle derivate parziali: uhmmm non sono sicuro, anche se non ho molto voglia di fare i conti della serva...

[Sk_Anonymous]

ok, anche se quella implicazione nella 1) è discutibile (dicono)

per i conti della serva hai ragione... infatti ho già trovato un errore nel calcolo della derivata in 0
domani posterò le conseguenze

[zorn1]

Mi fido pure dei tuoi conti, solo per ricordarti che dalla continuità delle derivate parziali (che dici di avere appurato e mi fido) seguono continuità, differenziabilità ed esistenza di tutte le derivate direzionali. Puoi quindi anche solo limitarti a quel punto.