Corpo Nero e cambio di variabili
Buongiorno a tutti,
so che questo argomento potrebbe sembrare non inerente la sezione di analisi, ma ho due ragioni per pubblicarlo qui e non nella sezione di fisica; la prima è che la mia è essenzialmente una domanda di matematica(di fisica-matematica?); la seconda è che ogni volta che ho provato a scrivere nella sezione di fisica ho sempre ricevuto risposte piuttosto approssimative o elusive rispetto alla domanda, e spero qui di ricevere risposta da qualcuno che abbia presente l'argomento e che allo stesso tempo sia interessato al rigore matematico.
Mi scuso per la lunga premessa e arrivo al dunque.
La densità di energia radiante emessa da un corpo nero (o presente all'interno di una cavità risonante) per unità di frequenza è : $$ u_\nu(\nu)=\frac{2\pi h \nu^3}{c^2}*\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_B T}}-1}$$
e quindi la densità di energia in un intervallo di frequenza $(\nu,\nu+d\nu)$ è :
$$ u_\nu(\nu) d\nu=\frac{2\pi h \nu^3}{c^2}*\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_B T}}-1}d\nu$$
Risulta infine che la densità di energia per unità di lunghezza d'onda sia
$$ u_\lambda(\lambda)=\frac{2\pi h c^2}{\lambda^5}*\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}}-1}$$
premesso che avrò cercato il conto in una decina di libri, e altrettante tesi, dispense e siti, tutti liquidano questo cambio di variabili come se fosse banale, mentre secondo me non è per niente scontato, in particolare non afferro quale sia la funzione di cambio di variabile usata, perché anche facendo la derivata della funzione composta(o calcolando i differenziali) e usando la relazione $\lambda=\frac{c}{\nu}$ a me salta fuori un segno meno.
Dal punto di vista naïf, sono riuscito a ricostruire un ragionamento che abbia un senso ed è il seguente:
La densità di energia in un certo intervallo di frequenza $(\nu_1,\nu_2)$ sarà $u=u_\nu *\Delta\nu$, dove $\Delta\nu=\nu_2-\nu_1$ e $u_\nu$ è la densità di energia per unità di frequenza (assunta costante nell'intervallo scelto), adesso all'intervallo di frequenze appena scritto corrisponde un intervallo di lunghezze d'onda $(\lambda_2=\frac{c}{\nu_2},\lambda_1=\frac{c}{\nu_1})$ dove l'ordine delle lunghezze d'onda è invertito poiché la relazione $\lambda=\frac{c}{\nu}$ è monotona decrescente con l'aumentare della frequenza. A questo punto definendo $\Delta\lambda=\lambda_1-\lambda_2$ , (perché $\lamda_1>\lambda_2$ ) si avrà che la densità di energia in questo intervallo di lunghezze d'onda sarà $u=u_\lambda \Delta\lambda$ , dove $u_\lambda$ è la densità di energia per unità di lunghezza d'onda (assunta costante nell'intervallo scelto), ed essendo i due intervalli corrispondenti, la densità di energia deve essere la medesima e si ottiene che $$u_\lambda \Delta\lambda=u_\nu \Delta\nu$$ a questo punto se scriviamo esplicitamente $\Delta\lambda$ otteniamo che $\Delta\lambda=\frac{c\Delta\nu}{\nu_1^2+\nu_1\Delta\nu}$ e supponendo $$\Delta\nu\ll\nu_1$$ otteniamo che $$\Delta\lambda\simeq \frac{c\Delta\nu}{\nu_1^2}$$ e inserendo nell'equazione di prima otteniamo finalmente che $$u_\lambda\simeq u_\nu \frac{c}{\lambda_1^2}$$
A questo punto c'è solo da fare "un passaggio al continuo" supponendo infinitesima l'ampiezza degli intervalli e rinominando $\lambda_1=\lambda$ otteniamo la formula per effettuare il cambio di variabile e cioè $u_\lambda(\lambda)=\frac{c}{\lambda^2}\cdot u_\nu(\frac{c}{\lambda})$
Ora dopo avervi prolissamente annoiato con questa tiritera, vorrei sapere se c'è un metodo analitico per giungere alla stessa conclusione applicando un cambio di variabili con conseguenti derivazioni, senza dover fare i conti nel discreto per poi "supporre i $\Delta$ piccini picciò".
Vi ringrazio per pazienza
so che questo argomento potrebbe sembrare non inerente la sezione di analisi, ma ho due ragioni per pubblicarlo qui e non nella sezione di fisica; la prima è che la mia è essenzialmente una domanda di matematica(di fisica-matematica?); la seconda è che ogni volta che ho provato a scrivere nella sezione di fisica ho sempre ricevuto risposte piuttosto approssimative o elusive rispetto alla domanda, e spero qui di ricevere risposta da qualcuno che abbia presente l'argomento e che allo stesso tempo sia interessato al rigore matematico.
Mi scuso per la lunga premessa e arrivo al dunque.
La densità di energia radiante emessa da un corpo nero (o presente all'interno di una cavità risonante) per unità di frequenza è : $$ u_\nu(\nu)=\frac{2\pi h \nu^3}{c^2}*\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_B T}}-1}$$
e quindi la densità di energia in un intervallo di frequenza $(\nu,\nu+d\nu)$ è :
$$ u_\nu(\nu) d\nu=\frac{2\pi h \nu^3}{c^2}*\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_B T}}-1}d\nu$$
Risulta infine che la densità di energia per unità di lunghezza d'onda sia
$$ u_\lambda(\lambda)=\frac{2\pi h c^2}{\lambda^5}*\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}}-1}$$
premesso che avrò cercato il conto in una decina di libri, e altrettante tesi, dispense e siti, tutti liquidano questo cambio di variabili come se fosse banale, mentre secondo me non è per niente scontato, in particolare non afferro quale sia la funzione di cambio di variabile usata, perché anche facendo la derivata della funzione composta(o calcolando i differenziali) e usando la relazione $\lambda=\frac{c}{\nu}$ a me salta fuori un segno meno.
Dal punto di vista naïf, sono riuscito a ricostruire un ragionamento che abbia un senso ed è il seguente:
La densità di energia in un certo intervallo di frequenza $(\nu_1,\nu_2)$ sarà $u=u_\nu *\Delta\nu$, dove $\Delta\nu=\nu_2-\nu_1$ e $u_\nu$ è la densità di energia per unità di frequenza (assunta costante nell'intervallo scelto), adesso all'intervallo di frequenze appena scritto corrisponde un intervallo di lunghezze d'onda $(\lambda_2=\frac{c}{\nu_2},\lambda_1=\frac{c}{\nu_1})$ dove l'ordine delle lunghezze d'onda è invertito poiché la relazione $\lambda=\frac{c}{\nu}$ è monotona decrescente con l'aumentare della frequenza. A questo punto definendo $\Delta\lambda=\lambda_1-\lambda_2$ , (perché $\lamda_1>\lambda_2$ ) si avrà che la densità di energia in questo intervallo di lunghezze d'onda sarà $u=u_\lambda \Delta\lambda$ , dove $u_\lambda$ è la densità di energia per unità di lunghezza d'onda (assunta costante nell'intervallo scelto), ed essendo i due intervalli corrispondenti, la densità di energia deve essere la medesima e si ottiene che $$u_\lambda \Delta\lambda=u_\nu \Delta\nu$$ a questo punto se scriviamo esplicitamente $\Delta\lambda$ otteniamo che $\Delta\lambda=\frac{c\Delta\nu}{\nu_1^2+\nu_1\Delta\nu}$ e supponendo $$\Delta\nu\ll\nu_1$$ otteniamo che $$\Delta\lambda\simeq \frac{c\Delta\nu}{\nu_1^2}$$ e inserendo nell'equazione di prima otteniamo finalmente che $$u_\lambda\simeq u_\nu \frac{c}{\lambda_1^2}$$
A questo punto c'è solo da fare "un passaggio al continuo" supponendo infinitesima l'ampiezza degli intervalli e rinominando $\lambda_1=\lambda$ otteniamo la formula per effettuare il cambio di variabile e cioè $u_\lambda(\lambda)=\frac{c}{\lambda^2}\cdot u_\nu(\frac{c}{\lambda})$
Ora dopo avervi prolissamente annoiato con questa tiritera, vorrei sapere se c'è un metodo analitico per giungere alla stessa conclusione applicando un cambio di variabili con conseguenti derivazioni, senza dover fare i conti nel discreto per poi "supporre i $\Delta$ piccini picciò".
Vi ringrazio per pazienza
Risposte
Ma qual è il cambio di variabile? Forse è \(\lambda=\frac{1}{\nu}\)?
$\lamda=\frac{c}{\nu}$
ps: usando il cambio di variabile in un integrale definito sono riuscito a trovare una strada analitica, ma visto che nessun testo nomina gli integrali vorrei capire se ci si può arrivare anche senza integrale.
ps: usando il cambio di variabile in un integrale definito sono riuscito a trovare una strada analitica, ma visto che nessun testo nomina gli integrali vorrei capire se ci si può arrivare anche senza integrale.
La cosa è estremamente più semplice di quanto pensi. Il cambio di variabile ha, si, un segno meno, ma c'è da cambiare gli estremi di integrazione;
\[
\int_a^b f(\lambda)d\lambda = -c\int_{c/a}^{c/b} f(c/\nu)\, \frac{d\nu}{\nu^2}, \]
e gli estremi di integrazione invertiti sono solo un espediente per dire "cambia il segno all'integrale". Il vero integrale è
\[
c\int_{c/b}^{c/a} f(c/\nu)\, \frac{d\nu}{\nu^2},\]
ed è per questo che si scrive
\[\tag{*}
d\lambda=c\frac{d\nu}{\nu^2}.\]
Hai studiato gli integrali multipli? Hai notato che lì si prende il valore assoluto dello Jacobiano? Questo va fatto anche per gli integrali 1-dimensionali, in realtà. È esattamente ciò che abbiamo fatto qui. Tutte le volte che si scrive qualcosa come (*), si sottointende che si è preso il valore assoluto dello Jacobiano.
\[
\int_a^b f(\lambda)d\lambda = -c\int_{c/a}^{c/b} f(c/\nu)\, \frac{d\nu}{\nu^2}, \]
e gli estremi di integrazione invertiti sono solo un espediente per dire "cambia il segno all'integrale". Il vero integrale è
\[
c\int_{c/b}^{c/a} f(c/\nu)\, \frac{d\nu}{\nu^2},\]
ed è per questo che si scrive
\[\tag{*}
d\lambda=c\frac{d\nu}{\nu^2}.\]
Hai studiato gli integrali multipli? Hai notato che lì si prende il valore assoluto dello Jacobiano? Questo va fatto anche per gli integrali 1-dimensionali, in realtà. È esattamente ciò che abbiamo fatto qui. Tutte le volte che si scrive qualcosa come (*), si sottointende che si è preso il valore assoluto dello Jacobiano.
Ecco una vecchia risposta del grande ViciousGoblin, dove spiega la differenza tra "cambio di variabile per forme differenziali", in cui c'è da cambiare il segno ma anche l'orientazione del dominio, e "cambio di variabile dell'analista", in cui si prende il valore assoluto dello Jacobiano e non si cambia l'orientazione del dominio.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 60#p339860
I cambi di variabile della fisica sono del secondo tipo.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 60#p339860
I cambi di variabile della fisica sono del secondo tipo.
Fantastico!!!
Esattamente il tipo di risposta che cercavo!
Allora la dimostrazione con il cambio di segno all'integrale è proprio la "strada analitica" che menzionavo poco fa, e quindi mi rasserena che combaci con la tua.
Invece stava iniziando a sfiorarmi la mente il fatto che il teorema di sostituzione è col modulo dello Jacobiano, ma ad eccezione degli integrali di linea non avevo mai visto il "cambio di variabile dell'analista" per integrali monodimensionali, e quindi non avevo ancora indagato del perché non ci fosse negli integrali monodimensionali. Ho letto la risposta di ViciousGoblin ed è proprio quello che cercavo(unita alla tua) per fare chiarezza.
Ti ringrazio vivamente per l'aiuto!
Ps: devi aver avuto una svista perché il modulo dello Jacobiano è $d\lambda=\frac{c}{\nu^2}d\nu$ e anche negli integrali te lo sei scordato.
Esattamente il tipo di risposta che cercavo!
Allora la dimostrazione con il cambio di segno all'integrale è proprio la "strada analitica" che menzionavo poco fa, e quindi mi rasserena che combaci con la tua.
Invece stava iniziando a sfiorarmi la mente il fatto che il teorema di sostituzione è col modulo dello Jacobiano, ma ad eccezione degli integrali di linea non avevo mai visto il "cambio di variabile dell'analista" per integrali monodimensionali, e quindi non avevo ancora indagato del perché non ci fosse negli integrali monodimensionali. Ho letto la risposta di ViciousGoblin ed è proprio quello che cercavo(unita alla tua) per fare chiarezza.
Ti ringrazio vivamente per l'aiuto!
Ps: devi aver avuto una svista perché il modulo dello Jacobiano è $d\lambda=\frac{c}{\nu^2}d\nu$ e anche negli integrali te lo sei scordato.
Si si, una svista, corretto.
Interessante anche notare che l'energia radiante totale è
$E = \int_0^{+\infty} u_\nu(\nu) \text{d}\nu = \int_0^{+\infty} \frac{2\pi h \nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_B T}}-1}\text{d}\nu = \frac{2\pi h}{c^2} \int_0^{+\infty} \frac{\nu^3}{e^{a\nu}-1}\text{d}\nu $
avendo posto $a := \frac{h}{k_B T} $
L'ultimo integrale scritto non è di banale risoluzione, ma si dimostra che vale $\pi^4/(15a^4) $ (vedasi ad esempio qui).
Perciò si ha:
$E = \frac{2\pi h}{c^2} \cdot \pi^4/(15a^4) = \frac{2\pi h}{c^2} \cdot \pi^4/(15h^4/(k_B^4 T^4)) = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15c^2 h^3} T^4 = \sigma T^4 $
ove $\sigma := \frac{2\pi^5 k_B^4}{15c^2 h^3} = 5,67 \times 10^{-8} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{-4} $ è la famosa costante di Stefan-Boltzmann.
$E = \int_0^{+\infty} u_\nu(\nu) \text{d}\nu = \int_0^{+\infty} \frac{2\pi h \nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_B T}}-1}\text{d}\nu = \frac{2\pi h}{c^2} \int_0^{+\infty} \frac{\nu^3}{e^{a\nu}-1}\text{d}\nu $
avendo posto $a := \frac{h}{k_B T} $
L'ultimo integrale scritto non è di banale risoluzione, ma si dimostra che vale $\pi^4/(15a^4) $ (vedasi ad esempio qui).
Perciò si ha:
$E = \frac{2\pi h}{c^2} \cdot \pi^4/(15a^4) = \frac{2\pi h}{c^2} \cdot \pi^4/(15h^4/(k_B^4 T^4)) = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15c^2 h^3} T^4 = \sigma T^4 $
ove $\sigma := \frac{2\pi^5 k_B^4}{15c^2 h^3} = 5,67 \times 10^{-8} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{-4} $ è la famosa costante di Stefan-Boltzmann.
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