Corollario del teorema di permanenza del segno

[Karma!11]

Vorrei sapere da voi se questa dimostrazione del corollario è giusta, poiché ho tentato a farla senza guardare sul libro:

Corollario:
Se una successione $an>=0$ allora $l>=0$

Dimostrazione:
Per definizione di convergenza ho che: $AA epsilon > 0 EE n0 |$ $|an-l| < epsilon$

Quindi: $|an-l| < epsilon$ $hArr$ $ l-epsilon
Considero solo $anan$

Per ipotesi ho che $an>=0$, quindi: $l+epsilon>an>=0$

Concludo dicendo che $l+epsilon>=0$
Ma essendo $epsilon$ sempre maggiore di zero per ipotesi, è vero che $l>=0$

[Luca.Lussardi]

Non ho capito niente.

[Karma!11]

"Luca.Lussardi":Non ho capito niente.

Per via della scrittura?

[Luca.Lussardi]

Anzitutto l'enunciato e' incompleto... chi e' $l$ tanto per cominciare?

[otta96]

"Karma!":Concludo dicendo che $l+epsilon>=0$
Ma essendo $epsilon$ sempre maggiore di zero per ipotesi, è vero che $l>=0$

Come lo giustifichi?

[anto_zoolander]

Direi:

sia $(a_n)_(n inNN)$ una successione e $existsl inRR:lim_(n->+infty)a_n=l$

Se $existsm inNN:a_ngeq0,forall ngeqm$ allora $lgeq0$

Dimostrare direttamente questo teorema è efficace?
Dalle ipotesi sai due cose:

• $forallepsilon>0 existsk inNN:|a_n-l|k$
• $exists m inNN:a_ngeq0,foralln>m$

Quindi posto $h=max{m,k}$ si ottiene $0leqa_nh$
Quindi si ottiene $l+epsilon>0$

Da questo non puoi dedurre nulla, perché sai solo che la somma è positiva. L’inefficacia di questo percorso è dato dal fatto che ti porta proprio a questo problema e dovresti fare un tragitto molto lungo.

Ora cosa come si potrebbe affrontare più efficacemente questa dimostrazione?
L’idea è quella che il teorema sembra simile alla permanenza del segno.

Quindi partiamo supponendo per assurdo che $l<0$. Ma se $l<0$ per il teorema di permanenza del segno $a_n$ sarebbe definitivamente negativa, pertanto deve essere $lgeq0$.

Più formalmente:

per ipotesi di assurdo $forallepsilon>0existskinNN:|a_n-l|k$
Possiamo porre $epsilon=-l$ ed esisterà un $k$ per cui $a_n<0,foralln>k$

Per $h=max{k,m}$ si ottiene $a_n<0$ e $a_ngeq0$ per ogni $n>h$ e quindi una contraddizione.

Quindi devi trovare anche il ‘miglior modo’ di dimostrare qualcosa.

La dimostrazione per le funzioni è pari pari uguale a questa.

[Karma!11]

"anto_zoolander":Direi:

sia $(a_n)_(n inNN)$ una successione e $existsl inRR:lim_(n->+infty)a_n=l$

Se $existsm inNN:a_ngeq0,forall ngeqm$ allora $lgeq0$

Dimostrare direttamente questo teorema è efficace?
Dalle ipotesi sai due cose:

• $forallepsilon>0 existsk inNN:|a_n-l|k$
• $exists m inNN:a_ngeq0,foralln>m$

Quindi posto $h=max{m,k}$ si ottiene $0leqa_nh$
Quindi si ottiene $l+epsilon>0$

Da questo non puoi dedurre nulla, perché sai solo che la somma è positiva. L’inefficacia di questo percorso è dato dal fatto che ti porta proprio a questo problema e dovresti fare un tragitto molto lungo.

Ora cosa come si potrebbe affrontare più efficacemente questa dimostrazione?
L’idea è quella che il teorema sembra simile alla permanenza del segno.

Quindi partiamo supponendo per assurdo che $l<0$. Ma se $l<0$ per il teorema di permanenza del segno $a_n$ sarebbe definitivamente negativa, pertanto deve essere $lgeq0$.

Più formalmente:

per ipotesi di assurdo $forallepsilon>0existskinNN:|a_n-l|k$
Possiamo porre $epsilon=-l$ ed esisterà un $k$ per cui $a_n<0,foralln>k$

Per $h=max{k,m}$ si ottiene $a_n<0$ e $a_ngeq0$ per ogni $n>h$ e quindi una contraddizione.

Quindi devi trovare anche il ‘miglior modo’ di dimostrare qualcosa.

La dimostrazione per le funzioni è pari pari uguale a questa.

Grazie mille!