Corollario del teorema di Hahn Banach
Scusate se vi propongo ancora un nuovo topic...
Devo dimostrare, come corollario del teorema di Hahn-Banach, che dati
$X$ spazio normato, $Z\subset X$ sottospazio vettoriale, $x_0\in X, x_0\ne 0, dist(x_0,Z)>0$ (cioè $x_0$ non sta nella chiusura di $Z$)
allora esiste un operatore $T:X\to R$ lineare e continuo tale che
$||T||=1$, $T(x_0)=dist(x_0,Z)$, $Z\subset KerT$.
Basta costruire un tale operatore sul sottospazio $Z':=Z+Rx_0$, e poi estenderlo con teorema di Hahn-Banach.
Una sola cosa non mi torna: la norma di $T$.
Io definisco $T(z+\lambda x_0)=\lambda$ $dist(x_0,Z)$, riesco a far vedere che $||T||<=1$, ma non che $||T||>=1$.
Come posso fare?
Devo dimostrare, come corollario del teorema di Hahn-Banach, che dati
$X$ spazio normato, $Z\subset X$ sottospazio vettoriale, $x_0\in X, x_0\ne 0, dist(x_0,Z)>0$ (cioè $x_0$ non sta nella chiusura di $Z$)
allora esiste un operatore $T:X\to R$ lineare e continuo tale che
$||T||=1$, $T(x_0)=dist(x_0,Z)$, $Z\subset KerT$.
Basta costruire un tale operatore sul sottospazio $Z':=Z+Rx_0$, e poi estenderlo con teorema di Hahn-Banach.
Una sola cosa non mi torna: la norma di $T$.
Io definisco $T(z+\lambda x_0)=\lambda$ $dist(x_0,Z)$, riesco a far vedere che $||T||<=1$, ma non che $||T||>=1$.
Come posso fare?
Risposte
Non viene con il Lemma di quasi perpendicolarità di Riesz?
Non conosco questo lemma... Cosa dice?
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