Corollario con ipotesi di semplice connessione

[Mephlip]

Salve a tutti! Il seguente corollario afferma

Corollario.
Se $E$ è un insieme semplicemente connesso ed $\omega$ è una forma differenziale chiusa su $E$, allora $\omega$ è esatta su $E$.

Nella dimostrazione si applica la formula di Gauss-Green più l'ipotesi di chiusura per dimostrare che, data una curva arbitraria $\gamma$, l'integrale di $\omega$ lungo $\gamma$ è nullo; mi chiedevo se l'ipotesi di semplice connessione fosse per poter usare Gauss-Green, in quanto le altre sono verificate implicitamente ($\omega$ è definita su $E$, quindi in particolare in $Int(E)$) se non ricordo male c'è bisogno dell'ipotesi connessione (che è implicata dalla semplice connessione).
Oppure ci sono altri motivi di topologia che non conosco?
Grazie in anticipo!

[Mephlip]

Grazie mille per la conferma arnett!
Purtroppo nel mio corso non si è parlato di omotopia in senso rigoroso, ma conosco la definizione; perciò cercherò di dimostrare gli enunciati che hai riportato non appena avrò del tempo da dedicargli all'infuori dell'imminente esame

[fmnq]

"Mephlip":Grazie mille per la conferma arnett!
Purtroppo nel mio corso non si è parlato di omotopia in senso rigoroso, ma conosco la definizione; perciò cercherò di dimostrare gli enunciati che hai riportato non appena avrò del tempo da dedicargli all'infuori dell'imminente esame

Se conosci la definizione di omotopia e il teorema di Stokes, dimostrare quel fatto è abbastanza semplice (ma bisogna supporre le curve $C^1$ a tratti, e non è necessario siano chiuse affinché il risultato sia vero). Il punto è che per Stokes
\[
\int_{[\alpha]}\omega - \int_{[\beta]}\omega = \int_{\partial\Sigma}d\omega = 0
\] dove $[\alpha]$ e $[\beta]$ sono i supporti delle curve, e \(\Sigma\) la superficie che ha il cobordo $[\beta]-[\alpha]$ come bordo.