Corollario al teorema di Weierstrass

[anto_zoolander]

Ciao ragazzi. Volevo sapere se questo 'corollario' al teorema di Weierstrass avesse un qualche nome.

Per ipotesi vale il teorema di weierstrass, quindi esistono e sono finiti:

$min_([a,b]subseteqA)f=m$

$max_([a,b]subseteqA)f=M$

inoltre consideriamo $[a,b]subseteqA(=dom(f))$ e $a
Ora aggiungiamo un'altra ipotesi $f$ è strettamente monotóna.

Abbiamo due tesi:

- nell'ipotesi sia crescente allora
$min_([a,b]subseteqA)f=f(a)$
$max_([a,b]subseteqA)f=f(b)$

- nell'ipotesi sia decrescente allora
$min_([a,b]subseteqA)f=f(b)$
$max_([a,b]subseteqA)f=f(a)$

[Rigel1]

Se \(f\colon [a,b]\to\mathbb{R}\) è monotona crescente (non necessariamente continua), allora \(\min_{[a,b]} f = f(a)\) e \(\max_{[a,b]} f = f(b)\); basta usare la definizione di monotonia.

[anto_zoolander]

Sicuro che la continuità non sia necessaria?

Considera la funzione $f:A->R$ nelll'intervallo $[-1,1]-{0}$

con posizione $f:x->-1/x$ è monotona strettamente crescente su tutto l'intervallo, ma:

$min_([-1,1]-{0}subseteqA) f=-infty$

$max_([-1,1]-{0}subseteqA) f=+infty$

[donald_zeka]

$[-1, 1]-{0}$ non è un intervallo

[anto_zoolander]

È unione degli intervalli $[-1,0[cup]0,1]$ ho sbagliato.

Forse sto confondendo le cose. Però se $f$ è discontinua in un intervallo, potrebbe capitare che non valga il discorso?

[donald_zeka]

La crescenza della funzione è sufficiente a dire che f(a) e f(b) sono minimo e massimo, la continuità non è richiesta

[Rigel1]

"anto_zoolander":Sicuro che la continuità non sia necessaria?

Considera la funzione $f:A->R$ nelll'intervallo $[-1,1]-{0}$

con posizione $f:x->-1/x$ è monotona strettamente crescente su tutto l'intervallo, ma:

$min_([-1,1]-{0}subseteqA) f=-infty$

$max_([-1,1]-{0}subseteqA) f=+infty$

Come ti è già stato fatto notare, \([-1,1]\setminus\{0\}\) non è un intervallo, ma questo non è nemmeno fondamentale.
Il problema in questo esempio è che la funzione non è monotona crescente, come puoi verificare osservando che \(f(-1) > f(1)\). (La funzione in questione è monotona crescente separatamente su ciascuno dei due intervalli \([-1,0)\) e \((0,1]\), ma non è monotona crescente nella loro unione.)