Corollario al teorema di esistenza e unicità
Stavo riguardando il teorema di esistenza e unicità locale per i sistemi del primo ordine e ho notato un corollario. Precisamente:
[tex]$\begin{cases} \dot{y}=f(t,y(t)) \\ y(t_0)=y_0 \end{cases}$[/tex] con [tex]$f: A \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$[/tex], [tex]$A$[/tex] aperto, [tex]$f$[/tex] continua e lipschitziana su un compatto [tex]$Q=\overline{B_r(t_0)} \times \overline{B_{\rho}(y_o)}$[/tex], [tex]$Q \subset A$[/tex].
Allora esiste unica soluzione [tex]$\bar{y} \in C^1(B_{r_0}(t_0), \mathbb{R}^n)$[/tex] con [tex]$r_0=\text{min} \bigg\{r, \frac{\rho}{M} \bigg\}$[/tex], [tex]$M= \text{max}_Q \|f(t,y) \|$[/tex]. E fin qui ripete soltanto quel che dice il teorema.
Poi aggiunge:
[tex]$\forall (s,x) \in \overline{B_{\frac{r}{2}}(t_0)} \times \overline{B_{\frac{\rho}{2}}(y_o)}$[/tex], il problema [tex]$\begin{cases} \dot{y}=f(t,y(t)) \\ y(s)=x \end{cases}$[/tex] ammette unica soluzione [tex]$\bar{y} \in C^1(B_{\frac{r_0}{2}}(s), \mathbb{R}^n)$[/tex].
Non riesco a capire perché proprio in quest'intervallo. Finché [tex]$(s,x)$[/tex] è tale che la soluzione corrisponde a quella del problema iniziale, non ho dubbi; ma altrimenti chi mi garantisce che sia proprio quello l'intervallo?
[tex]$\begin{cases} \dot{y}=f(t,y(t)) \\ y(t_0)=y_0 \end{cases}$[/tex] con [tex]$f: A \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$[/tex], [tex]$A$[/tex] aperto, [tex]$f$[/tex] continua e lipschitziana su un compatto [tex]$Q=\overline{B_r(t_0)} \times \overline{B_{\rho}(y_o)}$[/tex], [tex]$Q \subset A$[/tex].
Allora esiste unica soluzione [tex]$\bar{y} \in C^1(B_{r_0}(t_0), \mathbb{R}^n)$[/tex] con [tex]$r_0=\text{min} \bigg\{r, \frac{\rho}{M} \bigg\}$[/tex], [tex]$M= \text{max}_Q \|f(t,y) \|$[/tex]. E fin qui ripete soltanto quel che dice il teorema.
Poi aggiunge:
[tex]$\forall (s,x) \in \overline{B_{\frac{r}{2}}(t_0)} \times \overline{B_{\frac{\rho}{2}}(y_o)}$[/tex], il problema [tex]$\begin{cases} \dot{y}=f(t,y(t)) \\ y(s)=x \end{cases}$[/tex] ammette unica soluzione [tex]$\bar{y} \in C^1(B_{\frac{r_0}{2}}(s), \mathbb{R}^n)$[/tex].
Non riesco a capire perché proprio in quest'intervallo. Finché [tex]$(s,x)$[/tex] è tale che la soluzione corrisponde a quella del problema iniziale, non ho dubbi; ma altrimenti chi mi garantisce che sia proprio quello l'intervallo?
Risposte
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Up2
La soluzione $\bar{y}$ è definita in $B_{r_0/2}(t_0)$ oppure in $B_{r_0/2}(s)$?
PS: su quale libro hai trovato il corollario in questa forma?
PS: su quale libro hai trovato il corollario in questa forma?
Ora correggo, scusami: è in un intorno di $s$.
Ps: in realtà, sono appunti che avevo preso in classe; lì x lì mi sembrava chiaro, ma ora rileggendo mi è venuto il dubbio e in questi giorni non c'è nemmeno il prof. per poterglielo chiedere :\
Ps: in realtà, sono appunti che avevo preso in classe; lì x lì mi sembrava chiaro, ma ora rileggendo mi è venuto il dubbio e in questi giorni non c'è nemmeno il prof. per poterglielo chiedere :\
Se è un intorno di $s$ mi sembra che tutto torni.
Devi solo applicare il teorema di esistenza e unicità locale nel rettangolo $Q' = \overline{B}_{r_0/2}(s) \times \overline{B}_{\rho/2}(x)$, che è contenuto in $Q$.
L'esistenza è garantita in un intervallo $[s-\delta, s+\delta]$, con
$\delta = "min" \{r_0/2, \frac{\rho}{2M} \} = r_0/2$ (dal momento che $r_0 \le \frac{\rho}{M}$).
Devi solo applicare il teorema di esistenza e unicità locale nel rettangolo $Q' = \overline{B}_{r_0/2}(s) \times \overline{B}_{\rho/2}(x)$, che è contenuto in $Q$.
L'esistenza è garantita in un intervallo $[s-\delta, s+\delta]$, con
$\delta = "min" \{r_0/2, \frac{\rho}{2M} \} = r_0/2$ (dal momento che $r_0 \le \frac{\rho}{M}$).
Ah, accidenti, non ci avevo pensato. Grazie! 
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