Coordinate sferiche: semisfera tagliata

[SalvatCpo]

Scriviamo le coordinate sferiche di una sfera di raggio 2: $ {\(x=\rho*sen\phi*cos\theta),(y=\rho*sen\phi*sen\theta),(z=rho*cos\phi):} $
$ 0<=\phi<=\pi, 0<=\theta<=\2pi, 0
L'obiettivo é descrivere, con questo tipo di coordinate, il solido ottenuto a partire da una semisfera di raggio 2 ( poggiata sul piano xy e centrata nell'origine) tagliata ad altezza z=1 da un piano orizzontale.

Con le cilindriche sarebbe piú semplice, ma vorrei sapere se anche questa strada é possibile.

Ho pensato che per far variare z fra 1 e 0 anziché fra 2 e -2 potrei porre che la colatitudine varii fra 60 gradi e 90 anziché fra 0 e 180. Comunque, facendo alcuni esercizi di integrazione, i conti non tornano. Cosa sbaglio nel mio ragionamento?

[SalvatCpo]

Non riesco a risolverlo. Penso che gli intervalli restino gli stessi e pure le formule, dovrebbe cambiare solo l'intervallo di definizione della colatitudine, rispetto alla sfera intera. Giusto?
O forse è un sistema impossibile?

[SalvatCpo]

Sostituendo mi ritrovo questo sistema:

$ 0 0
Qui secondo me risulterebbe $ pi/3

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