Coordinate sferiche
Salve a tutti ragazzi,
ho un dubbio sull'utilizzo delle coordinate sferiche per un integrale triplo. Devo calcolare il volume di $\Omega= { (x,y,z) in R^3 | x^2 + y^2 + z^2 <= 16, z<=sqrt(x^2 + y^2)}$.
Provando a risolverlo con le coordinate sferiche:
$\{(x= \rho*cos(\theta)*sin(\phi)),(y= \rho*sin(\theta)*sin(\phi)), (z=\rho*cos(\phi)):}$
non riesco a capire bene fra quali angoli devo integrare $\phi$.
Ho usato l'equazione $z<=sqrt(x^2 + y^2)$ e sostituendovi le coordinate alla fine viene fuori l'equazione $\rho*cos(\phi)<=\rho*sin(\phi)$
e da qui
$tan(\phi)>=1$.
Sapendo che la tangente è maggiore di 1 dopo $pi/4$ ho concluso che
$pi/4<=\phi<=pi/2$. Tuttavia la soluzione integra da $pi/4$ a $pi$.
Sapreste spiegarmi il perchè? La tangente non è negativa nel secondo quadrante? Grazie in anticipo.
ho un dubbio sull'utilizzo delle coordinate sferiche per un integrale triplo. Devo calcolare il volume di $\Omega= { (x,y,z) in R^3 | x^2 + y^2 + z^2 <= 16, z<=sqrt(x^2 + y^2)}$.
Provando a risolverlo con le coordinate sferiche:
$\{(x= \rho*cos(\theta)*sin(\phi)),(y= \rho*sin(\theta)*sin(\phi)), (z=\rho*cos(\phi)):}$
non riesco a capire bene fra quali angoli devo integrare $\phi$.
Ho usato l'equazione $z<=sqrt(x^2 + y^2)$ e sostituendovi le coordinate alla fine viene fuori l'equazione $\rho*cos(\phi)<=\rho*sin(\phi)$
e da qui
$tan(\phi)>=1$.
Sapendo che la tangente è maggiore di 1 dopo $pi/4$ ho concluso che
$pi/4<=\phi<=pi/2$. Tuttavia la soluzione integra da $pi/4$ a $pi$.
Sapreste spiegarmi il perchè? La tangente non è negativa nel secondo quadrante? Grazie in anticipo.
Risposte
Sapreste spiegarmi il perché?
Perché non hai fatto un disegno e perché non sai risolvere una semplice disequazione goniometrica.
"gugo82":Sapreste spiegarmi il perché?
Perché non hai fatto un disegno e perché non sai risolvere una semplice disequazione goniometrica.
Non ho fatto un disegno ma conosco il grafico della funzione tan(x) e mi sono basato su quello. Se ho sbagliato qualcosa nella disequazione mi è molto più utile che mi fai notare l'errore per favore, piuttosto che dirmi che non so risolverla. Sai come funziona, sbagliando si impara.
Da quando in qua far notare a qualcuno che non ha fatto o non ha saputo fare qualcosa è “offensivo”?
Per favore, prima di segnalare post (di un moderatore e di un utente che vive tra queste pagine da 12 anni) pensa bene a ciò che ti viene scritto.
Grazie.
Non ho fatto un disegno […][/quote]
E ciò è male.
Nulla da dire sul grafico della tangente, ma l’hai usato a sproposito, visto che $tan x >= 1$ non è una disequazione equivalente a $cos x <= sin x$ (come dovresti sapere dalle superiori).
Inoltre, non mi riferivo al grafico della tangente quando parlavo di disegno, ma ad un disegno dell’insieme tridimensionale con cui hai a che fare.
Te l’ho appena detto.
Contento?
Beh, sì, ma nei tempi giusti.
Le disequazioni goniometriche sono programma di quarto liceo, non del primo anno di università.
Per favore, prima di segnalare post (di un moderatore e di un utente che vive tra queste pagine da 12 anni) pensa bene a ciò che ti viene scritto.
Grazie.
"andrea.dimax":
[quote="gugo82"]Sapreste spiegarmi il perché?
Perché non hai fatto un disegno e perché non sai risolvere una semplice disequazione goniometrica.
Non ho fatto un disegno […][/quote]
E ciò è male.
"andrea.dimax":
[…] ma conosco il grafico della funzione tan(x) e mi sono basato su quello.
Nulla da dire sul grafico della tangente, ma l’hai usato a sproposito, visto che $tan x >= 1$ non è una disequazione equivalente a $cos x <= sin x$ (come dovresti sapere dalle superiori).
Inoltre, non mi riferivo al grafico della tangente quando parlavo di disegno, ma ad un disegno dell’insieme tridimensionale con cui hai a che fare.
"andrea.dimax":
Se ho sbagliato qualcosa nella disequazione mi è molto più utile che mi fai notare l'errore per favore, piuttosto che dirmi che non so risolverla.
Te l’ho appena detto.
Contento?
"andrea.dimax":
Sai come funziona, sbagliando si impara.
Beh, sì, ma nei tempi giusti.
Le disequazioni goniometriche sono programma di quarto liceo, non del primo anno di università.
"gugo82":
Da quando in qua far notare a qualcuno che non ha fatto o non ha saputo fare qualcosa è “offensivo”?
Da quando ad una persona che scrive in un forum apposito per chiedere un aiuto su un dubbio come soluzione gli viene risposto che non ha saputo fare quel dubbio e nient'altro. Sembra offensivo e tra altre cose non ha neanche senso. Ho letto le regole del forum, prima di scrivere ho imparato il latex necessario per la scrittura del post e non ho allegato materiale di terze parti. Se mancava il disegno è perché ho semplicemente avuto un approccio sbagliato alla disequazione ma in questo forum chi vuole darmi una mano rispondendo dovrebbe aiutarmi a comprenderlo anziché dirmi che non lo so fare semplicemente.
"gugo82":
Nulla da dire sul grafico della tangente, ma l’hai usato a sproposito, visto che $tan x >= 1$ non è una disequazione equivalente a $cos x <= sin x$ (come dovresti sapere dalle superiori).
Qualche dimenticanza si può avere e queste occasioni aiutano a rinfrescare le cose imparate; se uno studente universitario fa un errore di calcolo non gli viene detto di tornare alle elementari per reimparare a contare.
"gugo82":
Inoltre, non mi riferivo al grafico della tangente quando parlavo di disegno, ma ad un disegno dell’insieme tridimensionale con cui hai a che fare.
Quello l'ho fatto, se avessi scritto un pò di più si sarebbe capito prima. Non capisco cosa centri con la disequazione però.
"gugo82":
Contento?
E beh per avere la risposta ho dovuto fare una segnalazione, pensa un pò. In ogni caso ti ringrazio per la risposta e per avermi fatto capire dove sbagliavo.
"andrea.dimax":
[quote="gugo82"]Da quando in qua far notare a qualcuno che non ha fatto o non ha saputo fare qualcosa è “offensivo”?
Da quando ad una persona che scrive in un forum apposito per chiedere un aiuto su un dubbio come soluzione gli viene risposto che non ha saputo fare quel dubbio e nient'altro. Sembra offensivo e tra altre cose non ha neanche senso. Ho letto le regole del forum, prima di scrivere ho imparato il latex necessario per la scrittura del post e non ho allegato materiale di terze parti. Se mancava il disegno è perché ho semplicemente avuto un approccio sbagliato alla disequazione ma in questo forum chi vuole darmi una mano rispondendo dovrebbe aiutarmi a comprenderlo anziché dirmi che non lo so fare semplicemente.
"gugo82":
Nulla da dire sul grafico della tangente, ma l’hai usato a sproposito, visto che $tan x >= 1$ non è una disequazione equivalente a $cos x <= sin x$ (come dovresti sapere dalle superiori).
Qualche dimenticanza si può avere e queste occasioni aiutano a rinfrescare le cose imparate; se uno studente universitario fa un errore di calcolo non gli viene detto di tornare alle elementari per reimparare a contare.[/quote]
A parte il fatto che l’errore commesso non era rubricabile come “errore di calcolo”, ma era una grave dimenticanza delle leggi di monotonia applicate alle disequazioni (roba della fine del primo/inizio del secondo anno del liceo), mi pare che il richiamo a risolvere degnamente la disequazione abbia funzionato.
Dunque, perché ti lamenti?
"andrea.dimax":
[quote="gugo82"]Inoltre, non mi riferivo al grafico della tangente quando parlavo di disegno, ma ad un disegno dell’insieme tridimensionale con cui hai a che fare.
Quello l'ho fatto, se avessi scritto un pò di più si sarebbe capito prima. Non capisco cosa centri con la disequazione però.[/quote]
C’entra eccome.
La regione di spazio individuata dalle limitazioni che poni è la parte di sfera di centro $O=(0,0,0)$ e raggio $4$ che sta al disotto del “mezzo” cono con vertice in $O$ e generato dalla rotazione della semiretta $\{ (y=0), (z=x) , (x>=0):}$ attorno all’asse $z$; conseguentemente la colatitudine $phi$ soddisfa necessariamente le limitazioni $pi/4 <= phi <= pi$ come si vede dal disegno e dall’interpretazione grafica di $phi$.
Il che ti dimostra che non sempre risolvere disequazioni è il metodo più immediato per fare questi contarielli.
"andrea.dimax":
[quote="gugo82"]Contento?
E beh per avere la risposta ho dovuto fare una segnalazione, pensa un pò. In ogni caso ti ringrazio per la risposta e per avermi fatto capire dove sbagliavo.[/quote]
Ma per favore…
[xdom="gugo82"]Chiudo.[/xdom]
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