Coordinate polari e superfici infinitesime
Salve a tutti! non riesco proprio a capire come poter utilizzare le coordinate polari nella risoluzione degli esercizi.
Mi spiego meglio:
ESEMPIO 1
Vorrei calcolare il momento d'inerzia del semicerchio in figura.
Ciò che IO avrei fatto è di trasformare la massa in:
$ dm=(rhopiRdR)/2 $
dove $ rho $ è uguale alla densità di massa, sapendo che il semicerchio è omogeneo.
Il momento poi lo calcolo utilizzando questa formula $ I11 = intdm(y^2) $ la scrivo così -per semplificarla-e quindi nella mia traformazione l'integrale sarebbe:
$ I11 = int_(0)^(R) rhopiRdR/2(R^2)dR $
Il professore invece mi ha detto di scomporre la massa in questo modo qui:
$ dm = rhoRdRdrtheta $
svolgendo l'integrale come se fosse un doppio integrale con
$ I11= int_(0)^(pi) drtheta int_(0)^(R)rdr(y^2), y=rsentheta $
Quindi vi domando, perchè la mia rappresentazione è sbagliata e quella in coordinate polari è corretta e come faccio a stabilire quale rappresentazione usare?
ESEMPIO 2
Voglio calcolare sempre il momento del triangolo in figura.
In questo caso la mia risoluzione sarebbe stata:
$ m=L^2/2 $
e quindi:
$ dm=rhodxdy/2 $
il mio integrale quindi sarebbe andato sia per dx che per dy da 0 a L.
eppure il professore ha messo come estremi di integrazione L e L-x.
Perchè ha fatto questo cambio? e dov'è finito il denominatore 1/2 che c'è nella formula dell'area del triangolo?
Mi spiego meglio:
ESEMPIO 1
Vorrei calcolare il momento d'inerzia del semicerchio in figura.
Ciò che IO avrei fatto è di trasformare la massa in:
$ dm=(rhopiRdR)/2 $
dove $ rho $ è uguale alla densità di massa, sapendo che il semicerchio è omogeneo.
Il momento poi lo calcolo utilizzando questa formula $ I11 = intdm(y^2) $ la scrivo così -per semplificarla-e quindi nella mia traformazione l'integrale sarebbe:
$ I11 = int_(0)^(R) rhopiRdR/2(R^2)dR $
Il professore invece mi ha detto di scomporre la massa in questo modo qui:
$ dm = rhoRdRdrtheta $
svolgendo l'integrale come se fosse un doppio integrale con
$ I11= int_(0)^(pi) drtheta int_(0)^(R)rdr(y^2), y=rsentheta $
Quindi vi domando, perchè la mia rappresentazione è sbagliata e quella in coordinate polari è corretta e come faccio a stabilire quale rappresentazione usare?
ESEMPIO 2
Voglio calcolare sempre il momento del triangolo in figura.
In questo caso la mia risoluzione sarebbe stata:
$ m=L^2/2 $
e quindi:
$ dm=rhodxdy/2 $
il mio integrale quindi sarebbe andato sia per dx che per dy da 0 a L.
eppure il professore ha messo come estremi di integrazione L e L-x.
Perchè ha fatto questo cambio? e dov'è finito il denominatore 1/2 che c'è nella formula dell'area del triangolo?
Risposte
nessuno mi sa aiutare?
nessuno nessuno?!?!?
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