Coordinate polari appropriate?
Calcolare $int_T1/sqrt(x^2+y^2) dx dy$ dove $T$ è il triangolo delimitato da:
[list=1]
[*:3vrjpy41] la prima bisettrice $y=x$[/*:m:3vrjpy41]
[*:3vrjpy41] l'asse $x$[/*:m:3vrjpy41]
[*:3vrjpy41] la retta $x=1$[/*:m:3vrjpy41][/list:o:3vrjpy41]
quindi l'area sarebbe questa
Sviluppando ottengo $T={(x,y)inRR^2:0<=x<=1$ e $0<=y<=x}$
L'esercizio viene affrontato passando alle coordinate polari impostando $0<=theta<=pi/4$ e $0<=rho<=1$
Non capisco perché si utilizzano le coordinate polari, con esse pensavo si potesse descrivere soltanto archi di circonferenza.
Parlando in termini pratici credevo che il lato verticale del triangolo ( quello che passa per $x=1$ ) non si potesse descrivere con le coordinate polari perché è una linea retta ma forse sto fraintendendo, c'e' semplicemente scritto che $rho$ oscilla tra $0$ e $1$. Che dite?
[list=1]
[*:3vrjpy41] la prima bisettrice $y=x$[/*:m:3vrjpy41]
[*:3vrjpy41] l'asse $x$[/*:m:3vrjpy41]
[*:3vrjpy41] la retta $x=1$[/*:m:3vrjpy41][/list:o:3vrjpy41]
quindi l'area sarebbe questa
Sviluppando ottengo $T={(x,y)inRR^2:0<=x<=1$ e $0<=y<=x}$
L'esercizio viene affrontato passando alle coordinate polari impostando $0<=theta<=pi/4$ e $0<=rho<=1$
Non capisco perché si utilizzano le coordinate polari, con esse pensavo si potesse descrivere soltanto archi di circonferenza.
Parlando in termini pratici credevo che il lato verticale del triangolo ( quello che passa per $x=1$ ) non si potesse descrivere con le coordinate polari perché è una linea retta ma forse sto fraintendendo, c'e' semplicemente scritto che $rho$ oscilla tra $0$ e $1$. Che dite?
Risposte
Veramente nel punto $(1,1)$, appartenente al triangolo, $rho=sqrt2$.
"@melia":
Veramente nel punto $(1,1)$, appartenente al triangolo, $rho=sqrt2$.
hai ragione, ma allora questo non fa che aumentare la mia confusione
Chi ha ragione!? Qual è il procedimento corretto?
Per quanto sia piuttosto scomodo è possibile usare le coordinate polari (effettivamente l'integranda si semplifica a colpo), solo come ha fatto notare melia non va bene l'upper bound del raggio. Chiaramente non può essere costante, altrimenti descriverebbe un ottavo di circonferenza, ma sarà una funzione di \(\theta\). La domanda è: quale? 
Nota che l'intersezione può avvenire solo se \(\rho\in\displaystyle [0, a(\theta)] \) e siccome il lato destro del triangolo giace sulla retta $x=1$ si ha semplicemente \[\displaystyle 1=x=a(\theta)\cos\theta \Rightarrow a(\theta)=\frac{1}{\cos\theta} \] Adesso l'integrale è semplicissimo: \[\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^{\sec\theta} d\rho\text{ }d\theta \] L'unica cosa a cui bisogna prestare attenzione è la condizione da imporre per invertire la relazione precedente (non cambia il valore dell'integrale).
Nota che l'intersezione può avvenire solo se \(\rho\in\displaystyle [0, a(\theta)] \) e siccome il lato destro del triangolo giace sulla retta $x=1$ si ha semplicemente \[\displaystyle 1=x=a(\theta)\cos\theta \Rightarrow a(\theta)=\frac{1}{\cos\theta} \] Adesso l'integrale è semplicissimo: \[\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^{\sec\theta} d\rho\text{ }d\theta \] L'unica cosa a cui bisogna prestare attenzione è la condizione da imporre per invertire la relazione precedente (non cambia il valore dell'integrale).
"Weierstress":
Per quanto sia piuttosto scomodo è possibile usare le coordinate polari (effettivamente l'integranda si semplifica a colpo), solo come ha fatto notare melia non va bene l'upper bound del raggio. Chiaramente non può essere costante, altrimenti descriverebbe un ottavo di circonferenza, ma sarà una funzione di \(\theta\). La domanda è: quale?
fin qua tutto ok
Nota che l'intersezione può avvenire solo se \(\rho\in\displaystyle [0, a(\theta)] \) e siccome il lato destro del triangolo giace sulla retta $x=1$ si ha semplicemente \[\displaystyle 1=x=a(\theta)\sin\theta \Rightarrow a(\theta)=\frac{1}{\sin\theta} \]
di quale intersezione si parla?
non ho capito che funzione è $a(\theta)$
Ma secondo voi sono corrette le impostazioni che sono state fatte più su alla luce di quello che ha detto Melia?
Pardon, ho fatto una correzione al post originale (ieri sera non ce la facevo proprio). Comunque in soldoni il discorso è che $rho$ interseca la prima volta il triangolo in $0$, la seconda in un altro punto sul cateto destro: usando un po' di trigonometria si vede che $1=x=rhocostheta$ (se consideri il triangolo che si viene a formare di ipotenusa $rho$).
Il coseno di $theta$ non si annulla mai su $[0,pi/4]$, quindi ignora quello che ti ho scritto nel primo post...
Il coseno di $theta$ non si annulla mai su $[0,pi/4]$, quindi ignora quello che ti ho scritto nel primo post...
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