Coordinate polari

[domenico.migl]

Salve a tutti, avrei un piccolo dubbio: E' lecito e soprattutto è rigoroso affermare che un limite, espresso in coordinate polari, non esiste se il risultato di tale limite dipende dall'angolo?

[21zuclo]

"Caronte":Salve a tutti, avrei un piccolo dubbio: E' lecito e soprattutto è rigoroso affermare che un limite, espresso in coordinate polari, non esiste se il risultato di tale limite dipende dall'angolo?

Assolutamente sì, per esempio

Verificare se esiste $ \lim_((x,y)\to(0,0)) (xy)/(x+y) $

se passi alle coordinate polari ottieni $ \lim_(\rho \to 0) (\rho^2 \cos(\theta)\sin(\theta))/(\rho^2\cos^2\theta+\rho^2 \sin^2\theta)= \cos(\theta)\sin(\theta) $

il limite NON esiste.

Altro esempio, verificare se esiste $ \lim_((x,y)\to(0,0)) (xy^2)/(x^2+y^4) $

passando alle polari ottieni
$ \lim_(\rho \to 0) (\rho^3 \cos(\theta)\sin^2(\theta))/(\rho^2\cos^2(\theta)+\rho^4 \sin^4(\theta))=\lim_(\rho\to 0) (\rho \cos\theta \sin^2 theta)/(cos^2\theta+rho^2\sin^4\theta) $

nell'ultima frazione, anche raccogliendo $\rho$ NON otteniamo un'espressione maggiorabile indipendentemente da $\theta$

il limite NON esiste

Stesso discorso, si ha con questo limite $ \lim_((x,y)\to (0,0)) (\exp(x^3)-1)/(x^4+y^2) $

il limite NON esiste.. passando alle polari te ne accorgi

[domenico.migl]

"21zuclo":Assolutamente sì

Perfetto ti ringrazio, gentilissimo.