Coordinate polari
Ho una domanda banale sulle coordinate polari. $\rhocos\theta+\rhosin\theta$ è semplificabile? Fa qualcosa di notevole?
Perchè ho un integrale triplo da calcolare dove nella soluzione questi due termini spariscono magicamente.
Devo trovare l'area nella regione interna al cilindro di raggio 1, un paraboloide e un piano.
$\int\int\int_{\Omega}1dxdydz=\int\int_{x^2+y^2<=1}\int_{x^2+y^2-2}^{3-x-y}dzdxdy=\int\int_{x^2+y^2<=1}3-x-y-x^2-y^2+2dxdy$
Nella soluzione arrivo ad avere $\int_{0}^{2pi}\int_{0}^{1}(5-\rho^2)rhod\rhod\theta$
Ok, in coordinate polari $x^2+y^2=\rho^2cos^2\theta+\rho^2sin^2\theta=rho^2$
Ma che fine fanno $-x-y$? In coordinate olari avrei $\rhocos\theta+\rhosin\theta$
Perchè ho un integrale triplo da calcolare dove nella soluzione questi due termini spariscono magicamente.
Devo trovare l'area nella regione interna al cilindro di raggio 1, un paraboloide e un piano.
$\int\int\int_{\Omega}1dxdydz=\int\int_{x^2+y^2<=1}\int_{x^2+y^2-2}^{3-x-y}dzdxdy=\int\int_{x^2+y^2<=1}3-x-y-x^2-y^2+2dxdy$
Nella soluzione arrivo ad avere $\int_{0}^{2pi}\int_{0}^{1}(5-\rho^2)rhod\rhod\theta$
Ok, in coordinate polari $x^2+y^2=\rho^2cos^2\theta+\rho^2sin^2\theta=rho^2$
Ma che fine fanno $-x-y$? In coordinate olari avrei $\rhocos\theta+\rhosin\theta$
Risposte
Perchè hai un solido simmetrico rispetto all'asse z, per cui ogni punto $(x,y)$ ha un suo simmetrico $(-x,-y)$. Quindi nell'integrale che ha per argomento $x$ questi due punti si annullano.
E' come dire che
$\int_(-1)^1 x\ dx = 0$.
Quindi ad es.
$\int_(-1)^1 (x+x^2)\ dx = \int_(-1)^1 x^2\ dx = ...$
ovvero elimino la $x$ perchè da contributo nullo all'integrale.
E' come dire che
$\int_(-1)^1 x\ dx = 0$.
Quindi ad es.
$\int_(-1)^1 (x+x^2)\ dx = \int_(-1)^1 x^2\ dx = ...$
ovvero elimino la $x$ perchè da contributo nullo all'integrale.
Ah ok ho capito. Non riesco a rendermene conto in $\RR^2$ o $\RR^3$. In $\RR$ lo vedevo subito. Con gli integrali doppi e tripli non capisco mai chi deve essere pari e simmetrico rispetto a cosa.
Quello che dovresti fare è una sezione "orizzontale" del solido è verificare che per ogni punto che appartiene al solido anche l'opposto appartiene al solido.
Cioè se $A$ è una sezione orizzontale qualsiasi:
$a=(x,y)\in A <=> b=(-x,-y)\in A$
Cioè se $A$ è una sezione orizzontale qualsiasi:
$a=(x,y)\in A <=> b=(-x,-y)\in A$
Quindi il fatto del dire: estremi simmetrici, funzione pari, allora integro due volte in mezzo estremo e estremi simmetrici funzione dispari, area=0 non esiste più?
Non posso più fare questo genere di discorsi? Cioè, io come mi accorgo che un punto sta su entrambe le facce del solido? Posso capire se ho una funzione $f(x)=x$ o simile, ma quando la funzione è più astrusa?
Nel senso, in questo caso qui il mio ragionamento poteva essere: è un cilindro, è simmetrico rispetto z (m'è capitato in cui era girato per lungo con l'asse di simmetria su y). $-x$ e $-y$ sono due funzioni dispari integrate in un intervallo simmetrico, l'area è 0. Però non vorrei mettermi in testa cose strane adattabili a tutto com'era in integrali semplici. Al limite preferisco trovarmi degli zeri in mezzo ai conti anche se in questo caso non me ne sarei mai accorto perchè mi sarebbe venuto in integrale molto lungo alla fine inutile.
Non posso più fare questo genere di discorsi? Cioè, io come mi accorgo che un punto sta su entrambe le facce del solido? Posso capire se ho una funzione $f(x)=x$ o simile, ma quando la funzione è più astrusa?
Nel senso, in questo caso qui il mio ragionamento poteva essere: è un cilindro, è simmetrico rispetto z (m'è capitato in cui era girato per lungo con l'asse di simmetria su y). $-x$ e $-y$ sono due funzioni dispari integrate in un intervallo simmetrico, l'area è 0. Però non vorrei mettermi in testa cose strane adattabili a tutto com'era in integrali semplici. Al limite preferisco trovarmi degli zeri in mezzo ai conti anche se in questo caso non me ne sarei mai accorto perchè mi sarebbe venuto in integrale molto lungo alla fine inutile.
Te ne accorgi perchè ad es. $x^2+y^2=(-x)^2+(-y)^2$.
Chiaramente ci sono delle varianti e delle generalizzazioni, tipo l'asse di simmetria lungo l'asse y, oppure l'asse di simmetria non è l'asse $z$, ma un asse parallelo, come in $(x-1)^2+(y-1)^2<=1$.
Io ti ho fatto un caso particolare sperando di accendere una lampadina, poi è chiaro che bisognerebbe generalizzare come fanno i libri di testo, ma onestamente non ho le conoscenze adatte, a parte il tempo nenecessario.
Se sei in dubbio fai i calcoli espliciti.
Chiaramente ci sono delle varianti e delle generalizzazioni, tipo l'asse di simmetria lungo l'asse y, oppure l'asse di simmetria non è l'asse $z$, ma un asse parallelo, come in $(x-1)^2+(y-1)^2<=1$.
Io ti ho fatto un caso particolare sperando di accendere una lampadina, poi è chiaro che bisognerebbe generalizzare come fanno i libri di testo, ma onestamente non ho le conoscenze adatte, a parte il tempo nenecessario.
Se sei in dubbio fai i calcoli espliciti.
Si si grazie mille!