Coordinate polari
Se provo a trasformare questo insieme in coordinate polari l'angolo mi viene:
$K={(x,y)|x>=0, y<= x^2, 4/9 <= x^2+y^2 <=2, y>= x/sqrt(3)}$ :
da $x>=0$ -> $ρcosϑ>=0$ --> $-pi/2<=ϑ<=pi/2$;
da $ y>= x/sqrt(3)$ --> $ϑ>= pi/6$
e quindi in definitiva $pi/6<=ϑ<=pi/2$
quando invece dovrebbe venire:
$K'={(ρ,ϑ)|sinϑ/(cos^2ϑ) <=ρ <= sqrt(2), pi/6<=ρ<= pi/4 }$
Inoltre c'è una domanda in generale che vorrei fare: so che in alcuni casi è possibile dedurre ρ e ϑ dopo aver disegnato l'insieme.Ma con questo metodo riesco ad identificare facilmente ϑ,ma non ρ, pur sapendone il significato geometrico.
$K={(x,y)|x>=0, y<= x^2, 4/9 <= x^2+y^2 <=2, y>= x/sqrt(3)}$ :
da $x>=0$ -> $ρcosϑ>=0$ --> $-pi/2<=ϑ<=pi/2$;
da $ y>= x/sqrt(3)$ --> $ϑ>= pi/6$
e quindi in definitiva $pi/6<=ϑ<=pi/2$
quando invece dovrebbe venire:
$K'={(ρ,ϑ)|sinϑ/(cos^2ϑ) <=ρ <= sqrt(2), pi/6<=ρ<= pi/4 }$
Inoltre c'è una domanda in generale che vorrei fare: so che in alcuni casi è possibile dedurre ρ e ϑ dopo aver disegnato l'insieme.Ma con questo metodo riesco ad identificare facilmente ϑ,ma non ρ, pur sapendone il significato geometrico.
Risposte
Analizziamo quali informazioni hai:
$x\ge 0$ implica che tutto il dominio è a destra dell'asse $y$;
$y\le x^2$ che devi prendere l'esterno della parabola $y=x^2$;
$4/9\le x^2+y^2\le 2$ è l'interno della corona circolare di raggi $r=2/3,\ R=\sqrt{2}$;
$y\ge x/{\sqrt{3}}$ che devi considerare il semipiano superiore rispetto alla retta.
Se ora metti tutto su un grafico, ti accorgerai che il dominio si trova all'interno della corna ed è delimitato dal basso dalla retta e dall'alto dalla parabola (lo vedi poiché i punti di intersezione tra retta e parabola e parabola è cerchio più piccola coincidono). Quello che hai è una sorta di triangolo con un lato dritto (il segmento di retta) e due curvi (il bordo del cerchio più grande e l'arco di parabola.
Il punto di intersezione di cui prima è $P(1/\sqrt{3},1/3)$. La retta incontra la circonferenza grande nel punto $Q(\sqrt{3/2},1/{\sqrt{2}})$. Infine la parabola e la circonferenza grande si intersecano in $S(1,1)$.
A questo punto ti accorgi che necessariamente $\theta$ varia tra l'angolo che la retta forma con l'asse $x$ e che vale $\tan\theta=1/{\sqrt{3}}$ per cui $\theta=\pi/6$ e l'angolo che il raggio vettore che unisce l'origine degli assi e il punto $S$ forma con l'asse $x$, e quindi $\tan\theta=1$ da cui $\theta=\pi/4$.
Per ragionare su come si comporti $\rho$ la figura è molto utile: osserva che, se fai variare l'angolo tra i due estremi precedenti, il valore massimo della $\rho$ coincide sempre con un punto sulla circonferenza più grande, e dunque $\rho\le \sqrt{2}$. Per la limitazione inferiore, invece, puoi osservare che qualsiasi raggio vettore tu faccia partire dall'origine con uno degli angoli determinati prima, esso incontrerà l'arco di parabola: ne segue che
$\rho\sin\theta\le\rho^2\cos^2\theta$
ed essendo $\rho>0$ per definizione e $\cos^2\theta>0$, segue $\rho\ge\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}$.
In definitiva
$\theta\in[\pi/6,\pi/4],\qquad \rho\in[\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta},\sqrt{2}]$.
Spero di aver risposto ad entrambe le domande. In ogni caso, chiedi.
P.S: come vedi, non tutte le informazioni servono a determinare il valore di $\rho$ per cui il disegno è fortemente utile.
$x\ge 0$ implica che tutto il dominio è a destra dell'asse $y$;
$y\le x^2$ che devi prendere l'esterno della parabola $y=x^2$;
$4/9\le x^2+y^2\le 2$ è l'interno della corona circolare di raggi $r=2/3,\ R=\sqrt{2}$;
$y\ge x/{\sqrt{3}}$ che devi considerare il semipiano superiore rispetto alla retta.
Se ora metti tutto su un grafico, ti accorgerai che il dominio si trova all'interno della corna ed è delimitato dal basso dalla retta e dall'alto dalla parabola (lo vedi poiché i punti di intersezione tra retta e parabola e parabola è cerchio più piccola coincidono). Quello che hai è una sorta di triangolo con un lato dritto (il segmento di retta) e due curvi (il bordo del cerchio più grande e l'arco di parabola.
Il punto di intersezione di cui prima è $P(1/\sqrt{3},1/3)$. La retta incontra la circonferenza grande nel punto $Q(\sqrt{3/2},1/{\sqrt{2}})$. Infine la parabola e la circonferenza grande si intersecano in $S(1,1)$.
A questo punto ti accorgi che necessariamente $\theta$ varia tra l'angolo che la retta forma con l'asse $x$ e che vale $\tan\theta=1/{\sqrt{3}}$ per cui $\theta=\pi/6$ e l'angolo che il raggio vettore che unisce l'origine degli assi e il punto $S$ forma con l'asse $x$, e quindi $\tan\theta=1$ da cui $\theta=\pi/4$.
Per ragionare su come si comporti $\rho$ la figura è molto utile: osserva che, se fai variare l'angolo tra i due estremi precedenti, il valore massimo della $\rho$ coincide sempre con un punto sulla circonferenza più grande, e dunque $\rho\le \sqrt{2}$. Per la limitazione inferiore, invece, puoi osservare che qualsiasi raggio vettore tu faccia partire dall'origine con uno degli angoli determinati prima, esso incontrerà l'arco di parabola: ne segue che
$\rho\sin\theta\le\rho^2\cos^2\theta$
ed essendo $\rho>0$ per definizione e $\cos^2\theta>0$, segue $\rho\ge\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}$.
In definitiva
$\theta\in[\pi/6,\pi/4],\qquad \rho\in[\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta},\sqrt{2}]$.
Spero di aver risposto ad entrambe le domande. In ogni caso, chiedi.
P.S: come vedi, non tutte le informazioni servono a determinare il valore di $\rho$ per cui il disegno è fortemente utile.
Spiegazione chiarissima,grazie.
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