Coordinate di versori, dubbio.
Se fisso l'origine in corrispondenza del pu to di intersezione dei due versori, dova l'asse delle ascisse e' orizzontale e l'asse delle ordinate e' verticale, ecco il disegno:
Uso la coordinata $theta$ che si vede nella figura e per individuare la posizione del punto uso i versori seguenti:
$e_r = cos theta i + sin theta j$
$e_(theta) = -sin theta i + cos theta j$
Il vettore posizione è dato dalla seguente:
$(P - O) = R e_r$
La $j$ si può scrivere in questo modo:
$j = e_r cos theta + ....$ questa è la componente del versore $e_r$ che viene proiettata su $j$
$j = ......... - e_(theta) sen theta$ questa è la componente del versore $e_(theta)$ che viene proiettata su $j$ ed è negativa perchè va verso il basso.
quindi si ha:
$j = e_r cos theta - e_(theta) sen theta $
Ho fatto uso delle regole sui triangoli rettangoli, calcolando le coordinate di $j$ evidenziate nella seguente:
Non sono sicuro se ho individuato le coordinate di $j$ nel modo corretto, ho usato gli angoli che ho disegnato e chiamato $theta$, dite che è così che si fa?
Help!
Datemi conferma se questi miei artifici che seguono sono corretti.
Il versore $e_r$ con riferimento al punto $P$ ha le seguenti coordinate:
$e_r = cos (90 - theta) i + sen(90 - theta) j$
che può essere scritto in questo modo:
$e_r = sentheta i + costhetaj$
Il versore $e_(theta)$ con riferimento al punto $P$ ha le seguenti coordinate:
$e_(theta) = cos (360 - theta) i + sen(360 - theta) j$
che può essere scritto in questo modo:
$e_(theta) = costheta i - senthetaj$
Tenendo conto che a noi interessa solo la $j$ di entrambi i versori, si ha che:
$e_r = costhetaj$
$e_(theta) = - senthetaj$
Per cui se il testo dice che $j$ deve essere il seguente:
$j = e_r cos theta - e_(theta) sen theta $
posso giustificare la formula dicendo che:
$j = costhetaj - senthetaj $
Ops, ma perche il testo invece moltiplica il primo addendo per $e_r$ e il secondo addendo per $e_(theta)$
Uso la coordinata $theta$ che si vede nella figura e per individuare la posizione del punto uso i versori seguenti:
$e_r = cos theta i + sin theta j$
$e_(theta) = -sin theta i + cos theta j$
Il vettore posizione è dato dalla seguente:
$(P - O) = R e_r$
La $j$ si può scrivere in questo modo:
$j = e_r cos theta + ....$ questa è la componente del versore $e_r$ che viene proiettata su $j$
$j = ......... - e_(theta) sen theta$ questa è la componente del versore $e_(theta)$ che viene proiettata su $j$ ed è negativa perchè va verso il basso.
quindi si ha:
$j = e_r cos theta - e_(theta) sen theta $
Ho fatto uso delle regole sui triangoli rettangoli, calcolando le coordinate di $j$ evidenziate nella seguente:
Non sono sicuro se ho individuato le coordinate di $j$ nel modo corretto, ho usato gli angoli che ho disegnato e chiamato $theta$, dite che è così che si fa?
Help!
Datemi conferma se questi miei artifici che seguono sono corretti.
Il versore $e_r$ con riferimento al punto $P$ ha le seguenti coordinate:
$e_r = cos (90 - theta) i + sen(90 - theta) j$
che può essere scritto in questo modo:
$e_r = sentheta i + costhetaj$
Il versore $e_(theta)$ con riferimento al punto $P$ ha le seguenti coordinate:
$e_(theta) = cos (360 - theta) i + sen(360 - theta) j$
che può essere scritto in questo modo:
$e_(theta) = costheta i - senthetaj$
Tenendo conto che a noi interessa solo la $j$ di entrambi i versori, si ha che:
$e_r = costhetaj$
$e_(theta) = - senthetaj$
Per cui se il testo dice che $j$ deve essere il seguente:
$j = e_r cos theta - e_(theta) sen theta $
posso giustificare la formula dicendo che:
$j = costhetaj - senthetaj $
Ops, ma perche il testo invece moltiplica il primo addendo per $e_r$ e il secondo addendo per $e_(theta)$
Risposte
Dunque, per come è fatto il grafico, è sicuro che la definizione dei vettori è
$$e_r=\sin\theta\ i+\cos\theta\ j,\qquad e_\theta=\cos\theta\ i-\sin\theta\ j$$
Se moltiplichi le due, rispettivamente, per $\cos\theta$ e per $-\sin\theta$ si ha
$$\cos\theta\ e_r=\sin\theta\cos\theta\ i+\cos^2\theta\ j,\qquad -\sin\theta\ e_\theta=-\sin\theta\cos\theta\ i+\sin^2\theta\ j$$
e quindi sommando membro a membro
$$\cos\theta\ e_r-\sin\theta\ e_\theta=\sin\theta\cos\theta\ i+\cos^2\theta\ j-\sin\theta\cos\theta\ i+\sin^2\theta\ j=j$$
$$e_r=\sin\theta\ i+\cos\theta\ j,\qquad e_\theta=\cos\theta\ i-\sin\theta\ j$$
Se moltiplichi le due, rispettivamente, per $\cos\theta$ e per $-\sin\theta$ si ha
$$\cos\theta\ e_r=\sin\theta\cos\theta\ i+\cos^2\theta\ j,\qquad -\sin\theta\ e_\theta=-\sin\theta\cos\theta\ i+\sin^2\theta\ j$$
e quindi sommando membro a membro
$$\cos\theta\ e_r-\sin\theta\ e_\theta=\sin\theta\cos\theta\ i+\cos^2\theta\ j-\sin\theta\cos\theta\ i+\sin^2\theta\ j=j$$
Ok per quegli artifici, ma perche' si deve fare cosi' come hai fatto?
Per quale motivi fai quelle moltiplicazioni?
Edit.
Per quale motivi fai quelle moltiplicazioni?
Edit.
Non è un "si deve fare così". Semplicemente, ragionare in questo modo, che è sostanzialmente quello di sottrarre membro a membro due equazioni di un sistema (hai fatto geometria?) è la cosa più veloce.
Non ho invece capito cosa intendi con il secondo quesito.
Non ho invece capito cosa intendi con il secondo quesito.
Scuami Ciampax, ho fatto un errore, lascia stare il secondo quesito che ho fatto, non c'entra nulla! Adesso faccio un Edit e cancello quello che erronemente hobscritto.
Ok per il primo quesito, sei atato chiarissimo, ti ringrazio.
Ok per il primo quesito, sei atato chiarissimo, ti ringrazio.
"ciampax":
Se moltiplichi le due, rispettivamente, per $\cos\theta$ e per $-\sin\theta$ si ha
$$\cos\theta\ e_r=\sin\theta\cos\theta\ i+\cos^2\theta\ j,\qquad -\sin\theta\ e_\theta=-\sin\theta\cos\theta\ i+\sin^2\theta\ j$$
e quindi sommando membro a membro
$$\cos\theta\ e_r-\sin\theta\ e_\theta=\sin\theta\cos\theta\ i+\cos^2\theta\ j-\sin\theta\cos\theta\ i+\sin^2\theta\ j=j$$
Scusami, ecco una cosa che non sto capendo!
Va bene nella somma o differenza, manperche' hai fatto quella moltiplicazione che dici e che ho evidenziato con il quote?
Perché così posso applicare il metodo di diagonalizzazione (o riduzione) di Gauss al sistema (ripeto: hai fatto geometria?)
Si ho fatto geometria!
Adesso ricordo il metodo di Gauss! In termini di calcolo e chiaro il metodo di Gauss, ma in questo caso come lo hai fatto tu, non mi e' chiaro il senso logico! Puoi spiegarmi il perche' hai fatto in quel modo?
P.S. So come si fa con Gauss, non sto capendo perche' tu hai fatto cosi'!
Adesso ricordo il metodo di Gauss! In termini di calcolo e chiaro il metodo di Gauss, ma in questo caso come lo hai fatto tu, non mi e' chiaro il senso logico! Puoi spiegarmi il perche' hai fatto in quel modo?
P.S. So come si fa con Gauss, non sto capendo perche' tu hai fatto cosi'!
Allora, ho pensato a $i$ e $j$ come se fossero le incognite $x,y$ (visto che voglio trovare $j$) per cui ho scritto il sistema come
$$ax+by=e_r,\quad cx+dy=e_\theta$$
A questo punto, per eliminare la $x$ in modo da ottenere solo la $y$ e poter risolvere direttamente, moltiplico la prima equazione per $c$ (il coefficiente di $x$ della seconda equazione) e la seconda equazione per $-a$ (il coefficiente di $x$ della prima) così da ottenere
$$acx+bcy=ce_r,\qquad -acx-ady=-ae_\theta$$
Mi accorgo che così facendo, se sommo membro a membro, il termine in $x$ sparisce mentre, caso fortuito (??) la somma dei coefficienti di $y$ mi restituisce 1, e questo mi permette di trovare agevolmente $y$ stessa.
$$ax+by=e_r,\quad cx+dy=e_\theta$$
A questo punto, per eliminare la $x$ in modo da ottenere solo la $y$ e poter risolvere direttamente, moltiplico la prima equazione per $c$ (il coefficiente di $x$ della seconda equazione) e la seconda equazione per $-a$ (il coefficiente di $x$ della prima) così da ottenere
$$acx+bcy=ce_r,\qquad -acx-ady=-ae_\theta$$
Mi accorgo che così facendo, se sommo membro a membro, il termine in $x$ sparisce mentre, caso fortuito (??) la somma dei coefficienti di $y$ mi restituisce 1, e questo mi permette di trovare agevolmente $y$ stessa.
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