Coordinate del baricentro( integrali doppi)
Determinare le coordinate del baricentro del seguente dominio :
$ D={(x,y):9<=x^2+y^2<=8y } $
Svolgimento:
Per trovare l'ascissa del baricentro avrei intenzione di usare la seguente formula( per l'ascissa):
$ x=1/(M(D))int int_(D) xdxdy $
Ho diviso il domionio D in 2 parti considerata la simmetria rispetto all'asse y.
Ho imposto il passaggio a coordinate polari dove $D': 0<=rho<=8sen theta$ e $arcsen(3/8)<=theta<=pi/2$
Ora per trovarmi la Misura di D' ho usato il seguente integrale doppio:
$ int int_(D')^() dx dy $
Risolvendo mi viene un numro assurdo
$ M(D')=23/4 pi-41/2 arcsen(3/8)+3sqrt(55)/4 $
$ D={(x,y):9<=x^2+y^2<=8y } $
Svolgimento:
Per trovare l'ascissa del baricentro avrei intenzione di usare la seguente formula( per l'ascissa):
$ x=1/(M(D))int int_(D) xdxdy $
Ho diviso il domionio D in 2 parti considerata la simmetria rispetto all'asse y.
Ho imposto il passaggio a coordinate polari dove $D': 0<=rho<=8sen theta$ e $arcsen(3/8)<=theta<=pi/2$
Ora per trovarmi la Misura di D' ho usato il seguente integrale doppio:
$ int int_(D')^() dx dy $
Risolvendo mi viene un numro assurdo
$ M(D')=23/4 pi-41/2 arcsen(3/8)+3sqrt(55)/4 $
Risposte
A parte il fatto che deve essere [tex]$\arcsin\frac{1}{8}\le \theta\le \frac{\pi}{2}$[/tex] (sei sulla circonferenza di raggio $3$, pertanto vale la relazione [tex]$\frac{3}{8}=3\sin\theta$[/tex]), il valore della superficie viene qualcosa del genere.
Ti faccio presente che, proprio a causa della simmetria, $x=0$. Quindi devi calcolare solo l'ordinata.
Ti faccio presente che, proprio a causa della simmetria, $x=0$. Quindi devi calcolare solo l'ordinata.
ma la misura di D cambia qualora non usassi la relazione sopracitata ?
Ciampax può controllare se ho imposto bene il passaggio a coordinate polari di questo integrale? Senza che aggiungo un altro post :
$ D={(x,y):x^2+y^2>=1,|x|<=2,|y|<=2 } $ ho imposto il seguente passaggio :
$ T={(rho,theta): 0<=theta<=pi/2 , 1<=rho<=2/costheta } $
E' corretto? Ovviamente il polo è centrato nell'origine degli assi
Ciampax può controllare se ho imposto bene il passaggio a coordinate polari di questo integrale? Senza che aggiungo un altro post :
$ D={(x,y):x^2+y^2>=1,|x|<=2,|y|<=2 } $ ho imposto il seguente passaggio :
$ T={(rho,theta): 0<=theta<=pi/2 , 1<=rho<=2/costheta } $
E' corretto? Ovviamente il polo è centrato nell'origine degli assi
Certo che cambia! 
Per quanto riguarda il passaggio a coordinate polari del secondo, in realtà devi suddividere in 4 la figura, passando per le bisettrici dei quattro quadranti. Fatto questo avrai delimitazioni del tipo: [tex]$0\leq\theta\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}\le\theta\le 2\pi,\ \ 1\le\rho\le\frac{2}{\cos\theta}$[/tex], oppure [tex]$\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{3\pi}{4},\ 1\le\rho\le\frac{2}{\sin\theta}$[/tex] e via dicendo.
In ogni caso, se devi calcolare qualcosa su questo dominio, ti consiglio di considerare il fatto che [tex]$D=Q\setminus C$[/tex] dove [tex]$Q$[/tex] è il quadrato e [tex]$C$[/tex] il cerchio.
Per quanto riguarda il passaggio a coordinate polari del secondo, in realtà devi suddividere in 4 la figura, passando per le bisettrici dei quattro quadranti. Fatto questo avrai delimitazioni del tipo: [tex]$0\leq\theta\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}\le\theta\le 2\pi,\ \ 1\le\rho\le\frac{2}{\cos\theta}$[/tex], oppure [tex]$\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{3\pi}{4},\ 1\le\rho\le\frac{2}{\sin\theta}$[/tex] e via dicendo.
In ogni caso, se devi calcolare qualcosa su questo dominio, ti consiglio di considerare il fatto che [tex]$D=Q\setminus C$[/tex] dove [tex]$Q$[/tex] è il quadrato e [tex]$C$[/tex] il cerchio.
"ciampax":
Certo che cambia!
Per quanto riguarda il passaggio a coordinate polari del secondo, in realtà devi suddividere in 4 la figura, passando per le bisettrici dei quattro quadranti. Fatto questo avrai delimitazioni del tipo: [tex]$0\leq\theta\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}\le\theta\le 2\pi,\ \ 1\le\rho\le\frac{2}{\cos\theta}$[/tex], oppure [tex]$\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{3\pi}{4},\ 1\le\rho\le\frac{2}{\sin\theta}$[/tex] e via dicendo.
In ogni caso, se devi calcolare qualcosa su questo dominio, ti consiglio di considerare il fatto che [tex]$D=Q\setminus C$[/tex] dove [tex]$Q$[/tex] è il quadrato e [tex]$C$[/tex] il cerchio.
Si scusi , ho dimenticato di scrivere che già ho diviso D in quattro parti cioè T è la quarta parte di D, perchè poi dovrei mettermi sulle bisettrici?
Perché l'estremo superiore del raggio è limitato, sui lati verticali, da 2 diviso il coseno, su quelli orizzontali da due diviso il seno. E i lati del quadrato sono suddivisi dagli angoli delle bisettrici.
grazie mille
A proposito del primo problema, per quale motivo non dovrebbe valere $arcsen3/8<=theta<=pi/2$? L'ordinata del punto sulla circonfrenza di centro $O(0,0)$ e raggio $3$ vale $9/8$.
"speculor":
A proposito del primo problema, per quale motivo non dovrebbe valere $arcsen3/8<=theta<=pi/2$? L'ordinata del punto sulla circonfrenza di centro $O(0,0)$ e raggio $3$ vale $9/8$.
salve le ho mandato un messaggio privato ma le è arrivato??
giusto speculor mi trovi pienamente d'accordo! Allora la M(D) viene tutto quel casino?
Ne avevamo già parlato in un'altra discussione. Non ho fatto i conti, ma l'integrale era questo:
$y_G=(2int_(\alpha)^(\pi/2)d\thetaint_(3)^(8sin\theta)d\rho\rho^2sin\theta)/(2int_(\alpha)^(\pi/2)d\thetaint_(3)^(8sin\theta)d\rho\rho)$ dove $sin\alpha=3/8$.
$y_G=(2int_(\alpha)^(\pi/2)d\thetaint_(3)^(8sin\theta)d\rho\rho^2sin\theta)/(2int_(\alpha)^(\pi/2)d\thetaint_(3)^(8sin\theta)d\rho\rho)$ dove $sin\alpha=3/8$.
Ops, scusate, errore mio di "numeri": invece di scrivere [tex]$y=\frac{9}{8}$[/tex] avevo scritto [tex]$y=\frac{3}{8}$[/tex] e quindi non mi tornava.
mmm.... provo a verificare
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