Coordinate del baricentro

[Frink88]

Buongiorno, vorrei sapere se ho svolto correttamente il seguente esercizio d'esame:
Determinare le coordinate del baricentro di una lamina sottile di densità costante che occupa la semisfera superiore di centro l'origine e raggio unitario.

Posta $S={(x,y,z) in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2+z^2=1, z\geq 0}$
Sia $B=(x_B, y_B, z_B)$ il baricentro e $\mu(x,y,z)=k in \mathbb{R}$ la densità
Si ha
$x_B=1/M \int\int\intkxdxdydz$ con $M=\int\int\intkdxdydz$
Passando a coordinate sferiche: $T:$ \begin{cases}
x=\rho sin \phi cos \theta \\
y=\rho sin \phi sin \theta \\
z=\rho cos \phi
\end{cases}

dove $\rho in (0,1), \phi in (0,pi/2), \theta in (0,2pi)$ e $det J_T=\rho^2 sin \phi$
$M=\int_0^1 \int_0^(pi/2) \int_0^(2pi) k\rho^2 sin \phi \quad d\thetad\phid\rho=2/3kpi$
quindi
$x_B=(3k)/(2kpi)\int_0^1 \int_0^(pi/2) \int_0^(2pi) \rho^3 sin^2 \phi cos \theta \quad d\thetad\phid\rho=0$
Allo stesso modo ottengo
$y_B=0$
$z_B=3/8$
Quindi
$B=(0,0,3/8)$

[Mephlip]

Sì, è corretto. Avresti già potuto dire a priori che $x_B$ e $y_B$ sono nulle perché le funzioni da integrare sono dispari rispettivamente in $x$ e in $y$ e l'insieme $S$ è pari in $x$ e $y$.

[Frink88]

Grazie per la risposta e per l'osservazione