Coordinate cilindriche integrale triplo - Estremi corretti?

[phigreco1]

Mi viene assegnato il seguente insieme:
$D={(x,y,z) in RR^3: (x-2)^2 + y^2 <=9, x>=0, y>=0, 1<=z<=4}$
E mi viene chiesto di calcolare l'integrale:
$int_D 3xy dx dy dz$

Ecco il mio svolgimento:

[*:1a7647ef]Coordinate cilindriche traslate:
$\Phi: \{(x=2+\rhocos\theta),(y = \rhosin\theta),(z=t):}$, $|detJ_(\Phi)|=\rho$

[*:1a7647ef]$(x-2)^2 + y^2 <=9 => \rho<=3$[/*:m:1a7647ef]
[*:1a7647ef] $y>=0 => 0<=\theta<=pi$[/*:m:1a7647ef]
[*:1a7647ef] $1<=z<=4 => 1<=t<=4 $[/*:m:1a7647ef]
[*:1a7647ef] $x>=0 => 2+\rhocos\theta>=0 => \rho>=-2/cos\theta $[/*:m:1a7647ef][/list:u:1a7647ef]
[/*:m:1a7647ef]
[*:1a7647ef]Integrazione:
$int_1^4 int_0^pi int_0^3 (3\rho^2 t) sin\theta d\rho d\theta dt=[...]=405$[/*:m:1a7647ef][/list:u:1a7647ef]

Il risultato è errato, secondo la soluzione, dovrebbe fare $375$. Ho sbagliato qualche condizione nell'espressione del dominio di integrazione in coordinate polari?

Grazie in anticipo!

EDIT:
Preciso il fatto che sono interessato alla soluzione con il cambio di coordinate perché vorrei capire dove sbaglio in $(x,y,z)$ ho già verificato e viene corretto.

[phigreco1]

Gentilissimo! Ti ringrazio per l'ottima correzione!

PS:
Ovviamente avevi ragione anche sull'integrale in coordinate cartesiane e l'hai azzeccato in pieno