Coordinata curvilinea, derivata della funzione inversa

[qwertyuio1]

Ciao a tutti, sto cercando di formalizzare la costruzione della coordianta curvilinea su una curva:

sia $f: [0,1]->R^2$ una curva $C^\infty$, chiusa e semplice (initettiva su [0,1[),
voglio riparametrizzare f in funzione della lunghezza dell'arco f(0),f(t).
Definisco la funzione lunghezza:
$L:[0,1]->[0,r], L(t)=\int_0^t |f'(u)| du$ , dove r è la lunghezza della curva f
Ora dimostro che L è biettiva e $C^\infty$ e la inverto.
La riparametrizzazione di f con la coordinata curvilinea sarà quindi:
$F:[0,r]->R^2 , F(s)=f(L^{-1}(s))$

Il mio problema è che vorrei dire che anche la F è $C^\infty$ (anche a tratti va bene), ma $L^{-1}$ è derivabile solo nei punti in cui $L'!=0$, cioè nei punti in cui $f'!=0.

Posso dire che non ci sono punti di questo tipo? O che sono al più un numero finito (magari in virtù del fatto che f è semplice)? Oppure riparametrizzare f in modo da eliminarli?

[qwertyuio1]

DoraDora mi ha trovato questo http://wapedia.mobi/it/Curva_piana (punto 7).
C'è scritto che effetivamente $|f'|>0$ ma non ne spiega il motivo!

[dissonance]

Mi sembra - ma non fidarti troppo - che la sola richiesta $f \in C^infty$ non basti. Devi richiedere che la curva sia regolare almeno a tratti (ovvero aggiungere l'ipotesi $f'!=0$).

[qwertyuio1]

Ah ok, quindi lo richiedo io. Mi puoi chiarire un attimo qual è la definizione di curva regolare a tratti (penso che sia diversa da quella che ho)?