Convoluzione filtro LTI
Ciao ragazzi, ho un dubbio su questo esercizio.
Il filtro mostra una risposta impulsiva \(\displaystyle h[n] = a^n*u[n] \) con |a|<1 e \(\displaystyle u[n] \) gradino unitario. Se in ingresso al filtro è inviata la sequenza \(\displaystyle x[n] = u[n] - u[n-M] \) con M>1.
Calcolare l'uscita del filtro y[n].
Ho impostato la convoluzione fra h[n] ed x[n] : $\sum_{m=-infty}^\infty\(u[m]-u[m-M])(a^(n-m)u[n-m])$
Ragazzi potete darmi un'indicazione che non saprei proprio andare avanti. Forse un passo che farei è estrarre \(\displaystyle a^n \) dalla somma ma poi mi areno.
Grazie,
Luca
Il filtro mostra una risposta impulsiva \(\displaystyle h[n] = a^n*u[n] \) con |a|<1 e \(\displaystyle u[n] \) gradino unitario. Se in ingresso al filtro è inviata la sequenza \(\displaystyle x[n] = u[n] - u[n-M] \) con M>1.
Calcolare l'uscita del filtro y[n].
Ho impostato la convoluzione fra h[n] ed x[n] : $\sum_{m=-infty}^\infty\(u[m]-u[m-M])(a^(n-m)u[n-m])$
Ragazzi potete darmi un'indicazione che non saprei proprio andare avanti. Forse un passo che farei è estrarre \(\displaystyle a^n \) dalla somma ma poi mi areno.
Grazie,
Luca
Risposte
Secondo me devi farti una idea "grafica" di cosa succede con questi esercizi.
Applicando formule e basta vai poco avanti.
Che forma ha la sequenza $x[n]$ ?
E la risposta impulsiva ?
Applicando formule e basta vai poco avanti.
Che forma ha la sequenza $x[n]$ ?
E la risposta impulsiva ?
Ho disegnato i segnali dell'esercizio. Ho ribaltato rispetto all'origine il segnale x[n] per impostare la convoluzione con il segnale infinito h[n]. Come faccio la convoluzione tra i due segnali se h[n] è infinita?
Grazie,
Luca
Ok, per cui diciamo così: man mano che il tempo avanza (il tempo sarebbe l'indice n, così ci capiamo), il rettangolo (l'input del filtro) avanza sempre di più lungo l'asse delle ascisse, quindi si sposta anche relativamente alla risposta all'impulso.
Ora, l'uscita del filtro la otteniamo facendo una somma finita (finita perchè l'ingresso è temporalmente finito).
Questa somma si ottiene moltiplicando il singolo campione della risposta col singolo campione dell'impulso (che sono nella stessa posizione in verticale) e quindi sommando.
Se fai tutti i calcoli dovrebbe uscire una cosa del tipo:
$y(n)= a(n-M)(1-a^(M+1))/(1-a), \ \ \ \ n>M$
ti torna il tutto ?
Ora, l'uscita del filtro la otteniamo facendo una somma finita (finita perchè l'ingresso è temporalmente finito).
Questa somma si ottiene moltiplicando il singolo campione della risposta col singolo campione dell'impulso (che sono nella stessa posizione in verticale) e quindi sommando.
Se fai tutti i calcoli dovrebbe uscire una cosa del tipo:
$y(n)= a(n-M)(1-a^(M+1))/(1-a), \ \ \ \ n>M$
ti torna il tutto ?
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