Convoluzione e proprietà

[*missdreamer*12]

Vorrei dimostrare le seguenti proprietà della convoluzione, ma mi inceppo, potreste darmi una mano?

Intanto mi riscrivo quella che p la mia definizione di convoluzione:

Sia $1<=p<=\infty$, $f\in L_1(\mathbb(R)^n)$ e $g\inL_p(\mathbb{R}^n)$, definisco la convoluzione
$(f * g)(x):=\int_{\mathbb{R}^n}f(x-y)g(y)dy$ se $y \rightarrow f(x-y)g(y) \in L_1(\mathbb{R}^n)$, altrimenti $(f*g)(x)=0$

La prima cosa che dovrei dimostrare è che $f*g \in L_p(\mathbb{R}^n)$, ma già questo non sono in grado di farlo. Praticamente dovrei considerare la norma $||f*g||_p$ è limitata. Giusto? o dovrei dimostrare qualche altra cosa?

[elgiovo]

Non è proprio semplicissimo da dimostrare: sicuramente trovi una prova in qualche libro di analisi funzionale. Comunque conviene procedere in due passi: $p=1$ (suggerimento: cerca di ricavare informazioni su $|g(y)|||f||_1$ e successivamente su $||f||_1||g||_1$, e poi... Tonelli e Fubini) e $1

Si ha $int_(RR^N)|f(x-y)g(y)|dx=|g(y)|int_(RR^N)|f(x-y)|dx=|g(y)|||f||_(L^1)

Cita

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[*missdreamer*12]

Ho provato a dimostrarlo ma mi sembra impossibile... difficile... sapete se lo posso trovare in un libro?

Non riesco neanche a dimostrare le seguenti cose:

1. $(f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(y)g(x-y)dy$ per quasi ogni $x \in \mathbb{R}^n$
2. supp($f*g$) $subset$ supp$f$ + supp$g$:= $\{x\in\mathbb{R}^n$ tale che $y \in$ supp$f$, $z in$ supp$g$ con $y+z=x\}$
3. $||f*g||_p<=||f||_1 ||g||_p$

Vi prego aiuto!!! DOpodomani ho l'esame...

[elgiovo]

Ti sembra difficile perchè sono dimostrazioni non immediate. Più che dimostrarle per conto tuo, credo che tu le debba studiare. Trovi tutto ciò che ti serve nel libro che ci siamo divertiti a descrivere qui.