Convoluzione di una trasformata di fourier con heaviside

[Laura.L92]

Ciao a tutti, mi ritrovo a preparere l'esame di matematica applicata e mi sono imbattuta nella convoluzione di una trasformata di fourier in cui sono presenti anche delle funzioni di heaviside, il mio problema sta nel fatto che non capisco che ragionamento bisogna fare per risolvere i vari casi in cui può trovarsi la variabile x.
Mi spiego meglio, in pratica ho una decina di esercizi svolti dal tutor ma anche avendo questi non trovo nessuna logica che mi spieghi in maniera chiara il procedimento che ha usato per risolverlo.
Ho provato a cercare su internet del materiale ma purtroppo le mie ricerche sono state inconcludenti, vi chiedo umilmente un piccolo aiuto, grazie.

Vorrei evidenziare che conosco le trasformate di fourier e le altre sue proprietà e che prima di rivolgermi a questo forum ho provato e riprovato gli esercizi almeno un centinaio di volte.

Il link dell esercizio è questo: drive.google.com/file/d/0B5CA6yAQ1I9gaW14Vkl5M3N6Yzg/edit?usp=sharing

-Esercizio 3 del 12-11-12.

Grazie a tutti per l'attenzione )

[Quinzio]

il mio problema sta nel fatto che non capisco che ragionamento bisogna fare per risolvere i vari casi in cui può trovarsi la variabile x.

Ogni integrale presenta le sue caratteristiche, per cui non è che da qui estraiamo una regola generale per tutti gli integrali di convoluzione e per tutti quelli con una heaviside.

Tutto parte da qui, fino a qui dici che è chiaro:

$\int_(-oo)^(oo) -(\sqrt3)/(6) e^((\sqrt3)/(3)|x-y|) (H(y+1)-H(y-3) dy $

Bisogna distinguere i 3 casi per via di quel $|x-y|$.
I tre casi sono quando:
$x-y>0$ e quindi $|x-y|=x-y$
$x-y$<0 e quindi $|x-y|=y-x$
oppure quando non si può dire nulla sul segno di $x-y$.

Prendiamo un integrale più semplice con lo stesso "problema"
$\int_(-oo)^(oo) |x-y| (H(y+1)-H(y-1)) dy $

Intanto dovrebbe esserti chiaro cos'è $H(y+1)-H(y-1)$: si tratta di un "impulso unitario" che inizia a -1 e termina a +1.
Quindi al di fuori del dominio dell'impulso è inutile valutare l'integrale, che quindi può diventare:
$\int_(-1)^(1) |x-y| (H(y+1)-H(y-1)) dy =\int_(-1)^(1) |x-y| dy$

Allora si vede che la $y$ deve essere valutata solo in $[-1,+1]$, quindi la $y$ "spazzola" i valori tra -1 e 1, ma non prima e non dopo.
E quindi appare chiaro che $|x-y|=x-y$ se $x>1$, perchè comunque $y\in [-1,+1]$.
Con lo stesso ragionamento $|x-y|=y-x$ se $x<-1$ perchè comunque $y\in [-1,+1]$.
Se anche $x\in[-1,1]$, bisogna spezzare l'integrale in due pezzi, uno dove $|x-y|=x-y$ e l'altro dove $|x-y|=y-x$.

Riassumendo
se $x>1$
$\int_(-1)^(1) (x-y) (H(y+1)-H(y-1)) dy =\int_(-1)^(1) (x-y) dy =xy-y^2 /2$
se $x<-1$
$\int_(-1)^(1) (y-x) dy =y^2 /2 -xy$
se $x\in[-1,+1]$
$\int_(-1)^(x) (x-y) dy + \int_(x)^(1) (y-x) dy = [xy-y^2 /2]_(-1)^x + [y^2 /2 -xy]_x^(1) =...$

[Laura.L92]

Grazie mille ) sei stato molto chiaro e sei ufficialmente il mio salvatore , dovrei chiederti un ultima cosa xó, dato che il caso che hai trattato è simile all'esercizio che ho postato, mi chiedo xk il tutor ha utilizzato gli intervalli ( x>3 ; x<-1 ; -1

[Quinzio]

Il mio esempio è simile, ma non uguale. Se guardi il tuo esercizio hai $H(y+1)-H(y-3)$, quindi dovrebbe essere chiaro perchè gli intervalli sono proprio $x<-1,\ x\in [-1,3],\ 3

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