Convoluzione di funzione

[Blizz1]

Ciao a tutti, potete aiutarmi con la soluzione step by step del seguente esercizio?




In particolare non so quali estremi di integrazione utilizzare e se fare:

$$ \int_?^? e^{-3y} \cdot (1-y) dy $$ o $$ \int_?^? e^{-3(x-y)} \cdot 1 dy$$

[Rigel1]

Basta partire dalla definizione:
\[
f\ast g (x) = \int_{\mathbb{R}} f(x-y) g(y) dy = \int_0^1 f(x-y) dy.
\]
(Per il secondo passaggio si usa il fatto che \(g = \chi_{[0,1]}\).)
Adesso tieni conto del fatto che \(f(x-y) = 0\) se \(x-y < 0\), cioè se \(y > x\). Poiché l'esercizio richiede \(x\in (0,1)\), ottieni
\[
f\ast g (x) = \int_0^x f(x-y) dy = \int_0^x e^{-3(x-y)}\, dy
\qquad (x\in (0,1)).
\]

[dissonance]

Aggiungo solo una cosa, peraltro una cavolata: il prodotto di convoluzione è associativo, cioè
\[
\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)\, dy=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(x-y)\, dy.\]
Questo per rispondere alla domanda

"Blizz":non so quali estremi di integrazione utilizzare e se fare:

$$ \int_?^? e^{-3y} \cdot (1-y) dy $$ o $$ \int_?^? e^{-3(x-y)} \cdot 1 dy$$

E' uguale, a patto di scrivere bene le due funzioni. $1-y$ non sta né in cielo né in terra, la funzione corretta è la costante $1$. Ma per l'esponenziale puoi sia prendere $e^{3(x-y)}$ sia prendere $e^{3y}$.

[Blizz1]

Ho capito grazie. E in un caso del genere? $\downarrow$

[Blizz1]

Pensavo di ricavare la trasformata di Fourier di f e semplicemente moltiplicarla per se stessa dato che richiede $F(f*f)(\xi)$