Convoluzione

[mistere1]

Mi interessa sia nel dominio del tempo che in quello della frequenza.Gentilmente se potete fornirmi tutti i passaggi!grazie

esempio

(x*y)(t)=?

(X*Y)(f)=?

[Sk_Anonymous]

Da un punto di vista matematico non esiste alcuna differenza fra la "variabile f" e la "variabile t", ragion per cui la domanda, così com'è posta, fa storcere un tantinello il naso, ma vabbè... Essendo $n \in \mathbb{Z}^+$, diciamo che $f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}^n}$ è una funzione di Schwartz se i) $f \in C^\infty(\mathbb{R}^n)$; ii) per ogni $k \in \mathbb{N}$ ed ogni $\alpha \in ]-\infty, 0]$, $f^{(k)}(x) = o(x^\alpha)$, quando $||x|| \to +\infty$. Denotiamo quindi con $S(\mathbb{R}^n)$ l'insieme di tutte e sole le funzioni così fatte. Ora, se $f, g \in S(\mathbb{R})$ e $t \in \mathbb{R}$, poniamo per definizione $(f \star g)(t) := \int_0^t f(u) g(u-t) dt$, e diciamo che l'integrale indicato rappresenta la convoluzione di $f$ con $g$ nel punto $t$. Una definizione alternativa, e più generale, è possibile, in cui si ammette che $f$ e $g$ siano funzioni a quadrato sommabile secondo Lebesgue in $\mathbb{R}$, piuttosto che funzioni di Schwartz. In tal caso si pone $(f \star g)(t) := \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) g(u-t) du$, e si dice ancora che l'integrale indicato è la convoluzione di $f$ con $g$ in $t$, se $t \in \mathbb{R}$. Si prova in particolare che, nelle consuete ipotesi: $\mathcal{F}(f \star g) = \mathcal{F}(f) \cdot \mathcal{F}(g)$, ove $\mathcal{F}$ è la trasformata di Fourier.

[mistere1]

ok grazie mille!
Sei stato molto esaustivo!