Convoluzione
Mi è venuta una curiosità... sapevo che la convoluzione in generale non fosse un'operazione commutativa, ma quando si parla di convoluzione nello spazio di Lebesgue $ L^2 $ si può affermare che in quel caso la convoluzione è commutativa? a me sembra di si per via di un risultato sulla trasformazione di Laplace che dice che la trasformata di Laplace di x*y (indico con * l'operazione di convoluzione) è uguale al prodotto delle due trasformate cioè L[x*y] = L[x]L[y].
Allora L[y*x] = L[y]L[x], ma siccome il prodotto è commutativo, segue che L[x]L[y] = L[y]L[x] e dunque L[x*y] = L[y*x] e antitrasformando ambo i membri dovrebbe seguire che x*y = y*x. Cosa ne pensate?
Allora L[y*x] = L[y]L[x], ma siccome il prodotto è commutativo, segue che L[x]L[y] = L[y]L[x] e dunque L[x*y] = L[y*x] e antitrasformando ambo i membri dovrebbe seguire che x*y = y*x. Cosa ne pensate?
Risposte
La convoluzione e' commutativa:
$ (f ** h)(y) = \int_{RR} f(y-x) h(x) dx = \int_{RR} f(\tau) h(y-\tau) d \tau = (h ** f) (y) $
Facendo il cambio di variabili $\tau = y - x $.
Questo sotto l'unica ipotesi che esistano finiti tutti gli integrali che ho scritto sopra.
$ (f ** h)(y) = \int_{RR} f(y-x) h(x) dx = \int_{RR} f(\tau) h(y-\tau) d \tau = (h ** f) (y) $
Facendo il cambio di variabili $\tau = y - x $.
Questo sotto l'unica ipotesi che esistano finiti tutti gli integrali che ho scritto sopra.
Ok grazie del chiarimento
Faccio il provocatore. Cosa è il "prodotto" di due funzioni f e g?
è
f(x)g(x) oppure f(x)g(y) ?
sono due cose diverse.
Sono commutativi entrambi questi prodotti?
è
f(x)g(x) oppure f(x)g(y) ?
sono due cose diverse.
Sono commutativi entrambi questi prodotti?
Non ho capito questa "provocazione" 
Ho sbagliato?
Comunque il prodotto di due funzioni e':
$ ( f * g ) (x) = f(x) * g(x) $
Invece il secondo tipo di prodotto e' il prodotto tensore fra due funzioni pensate come distribuzioni(*):
$ ( f ox g ) (x,y) = f(x) g(y) $
Il primo e' chiaramente commutativo, il secondo ovviamente no. Basta pensare al caso delle funzioni lineari:
$ f ~ vec b \qquad g ~ vec c$
Allora $b,c$ sono tensori nel senso classico e:
$ vec b ox vec c = vec b \ vec c^T $
Che non e' chiaramente commutativo.
---------------------------
(*) Fuori da $L_{loc}^1$ il prodotto tensore non ha senso, ma si puo' estendere il secondo tipo di prodotto rinunciando all'idea intrinseca di prodotto tensoriale.
Ho sbagliato?
Comunque il prodotto di due funzioni e':
$ ( f * g ) (x) = f(x) * g(x) $
Invece il secondo tipo di prodotto e' il prodotto tensore fra due funzioni pensate come distribuzioni(*):
$ ( f ox g ) (x,y) = f(x) g(y) $
Il primo e' chiaramente commutativo, il secondo ovviamente no. Basta pensare al caso delle funzioni lineari:
$ f ~ vec b \qquad g ~ vec c$
Allora $b,c$ sono tensori nel senso classico e:
$ vec b ox vec c = vec b \ vec c^T $
Che non e' chiaramente commutativo.
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(*) Fuori da $L_{loc}^1$ il prodotto tensore non ha senso, ma si puo' estendere il secondo tipo di prodotto rinunciando all'idea intrinseca di prodotto tensoriale.
Guarda, hai colto la "provocazione" in maniera eccellente.
Anche senza scomodare le distribuzioni, in qualche corso si Analisi 1 si parla di prodotto (tensoriale) di funzioni con possibile domanda a trabocchetto all'esame: "è commutativo questo prodotto?".
Anche senza scomodare le distribuzioni, in qualche corso si Analisi 1 si parla di prodotto (tensoriale) di funzioni con possibile domanda a trabocchetto all'esame: "è commutativo questo prodotto?".
E' una domanda infida in un corso di Analisi I!
Ormai i tensori non li fa piu' quasi nessuno...
Ormai i tensori non li fa piu' quasi nessuno...
Ma sai, basta definire il prodotto tensoriale come f(x)g(y) e nulla più.... Le due funzioni, di variabile diversa, di per sè appartengono a spazi funzionali distinti (i loro insiemi di definizione non sono i medesimi).
Si, ma se uno non ha mai visto i tensori, all'esame, puo' andare facilmente in confusione su questo prodotto. Secondo me e' una domanda cattiva per questo... Poi certo che lo studente furbo e col sangue freddo non sbaglia, pero'....
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