Convoluzione
Ciao ragazzi,
Ho il seguente problema. Siano $ f=f(x,y,t) $ , $ g=g(x,y,t) $ e $ h=h(x,y,t) $ tre funzioni spazio e tempo dipendenti. Viene poi definito il seguente prodotto interno:
$ (f,g) = \int_0^T \int_x \int_y f(x,y,t)g(x,y,t)dxdydt $
Sia $ B(f,\cdot) $ il seguente operatore
$ B(f,\cdot) = \frac{\partial}{\partial x}[f \ast \cdot] $
allora
$ (h,Bg) = (B^{\ast}h,g) + BT $
dove $B^{\ast}$ é l'operatore aggiunto di $B$.
La mia domanda é: come é definito l'operatore $B^{\ast}$?
La stessa domanda credo che possa essere riformulata in maniera molto piú semplice. Siano $f=f(x)$ e $g=g(x)$ due funzioni ad una variabile e sia $a$ una costante. Allora:
$a(f \ast g)(x) = ((af) \ast g)(x)$
Assumiamo ora che $a=a(x)$ sia una funzione ad una variabile. Ció che io vorrei ricavare é la seguente uguaglianza:
$a(f \ast g)(x) = g(\tilde{f} \ast a)(x)$
peró non sono in grado di determinare $\tilde{f}$. Qualcuno mi sa dire che espressione assume $\tilde{f}$ ?
Grazie in anticipo.
Ho il seguente problema. Siano $ f=f(x,y,t) $ , $ g=g(x,y,t) $ e $ h=h(x,y,t) $ tre funzioni spazio e tempo dipendenti. Viene poi definito il seguente prodotto interno:
$ (f,g) = \int_0^T \int_x \int_y f(x,y,t)g(x,y,t)dxdydt $
Sia $ B(f,\cdot) $ il seguente operatore
$ B(f,\cdot) = \frac{\partial}{\partial x}[f \ast \cdot] $
allora
$ (h,Bg) = (B^{\ast}h,g) + BT $
dove $B^{\ast}$ é l'operatore aggiunto di $B$.
La mia domanda é: come é definito l'operatore $B^{\ast}$?
La stessa domanda credo che possa essere riformulata in maniera molto piú semplice. Siano $f=f(x)$ e $g=g(x)$ due funzioni ad una variabile e sia $a$ una costante. Allora:
$a(f \ast g)(x) = ((af) \ast g)(x)$
Assumiamo ora che $a=a(x)$ sia una funzione ad una variabile. Ció che io vorrei ricavare é la seguente uguaglianza:
$a(f \ast g)(x) = g(\tilde{f} \ast a)(x)$
peró non sono in grado di determinare $\tilde{f}$. Qualcuno mi sa dire che espressione assume $\tilde{f}$ ?
Grazie in anticipo.
Risposte
"luc27":
La mia domanda é: come é definito l'operatore $B^{\ast}$?
Per definizione, \(B^\ast\) è l'operatore tale che
\[
(Bf, g)=(f, B^\ast g), \]
per ogni \(f, g\) in qualche classe di funzioni (che qui non hai specificato).
Probabilmente non volevi sapere questo, ma questa è la risposta alla domanda "come è definito \(B^\ast\)"? Tu probabilmente volevi calcolare \(B^\ast\).
Lo $**$ nella definizione di $B(f,*)$ è una convoluzione?
Se sì, fatta rispetto a quale/i variabile/i?
Se no, cos'è?
Perchè definisci la notazione $B(f,*)$ e poi usi $Bg$?
Visto che $T$ è un valore della variabile $t$ (e non una funzione), cos'è $BT$?
Dove sono definite e che regolarità hanno le funzioni?
Insomma, un po' di chiarezza...
Se sì, fatta rispetto a quale/i variabile/i?
Se no, cos'è?
Perchè definisci la notazione $B(f,*)$ e poi usi $Bg$?
Visto che $T$ è un valore della variabile $t$ (e non una funzione), cos'è $BT$?
Dove sono definite e che regolarità hanno le funzioni?
Insomma, un po' di chiarezza...
Ciao ragazzi,
Grazie ad entrambi per le risposte. Cercheró di essere piú chiaro a partire dalle notazioni:
$\cdot^{\ast}$: operatore aggiunto
$\ast$: prodotto di convoluzione
In risposta a dissonance:
$f$ e $g$ sono due funzioni a valori reali, continue e con tutte derivate continue.
Si, la mia domanda é proprio: come calcolo $B^{\ast}$?
In risposta a gugo82:
lo $\ast$ nella definizione di $B(f,\cdot)$ é un convoluzione definita rispetto a tutte le variabili, perció
$$ (f \ast g)(x,y,t) = \int_0^T \int_{\tilde{x}} \int_{\tilde{y}} f(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{t}) g(x-\tilde{x},y-\tilde{y},t-\tilde{t}) d\tilde{x} d\tilde{y} d\tilde{t} $$
Si, la notazione é un pó confusionale; mi ripeto. Sia $B(f,cdot)$ il seguente operatore
$$ B(f,\cdot) = \frac{\partial}{\partial x} [f \ast \cdot] $$
allora
\begin{equation*}
(h,B(f,g)) = (B^{\ast}(\tilde{f},h),g) + BT
\end{equation*}
dove $B^{\ast}$ é l'operatore aggiunto di $B$ e $BT$ sta per 'boundary term'.
Faccio un esempio:
siano $f=f(x)$ e $g=g(x)$ funzioni continue e con derivate continue e sia $B(\cdot)$ il seguente operatore
$$ B(\cdot) = \frac{\partial}{\partial x} $$
allora
$$ (h,B(f)) = \int_0^L h \frac{\partial f}{\partial x} dx = hf|_0^L + \int_0^L - \frac{\partial h}{\partial x} f dx = (B^{\ast}(h),f) + BT$$
dove
$$B^{\ast}(\cdot) = -\frac{\partial}{\partial x} $$
e
$$BT = hf|_0^L$$
Vorrei fare esattamente la stessa cosa ma con l'operatore $B$ sopra definito. Per risolvere il mio problema mi basterebbe anche solo sapere come viene definita $\tilde{f}$ (seconda domanda nel post iniziale).
Spero che qualcuno sia in grado di aiutarmi, ve ne sarei molto grato.
P.S: un po' di contesto. Sto implementando in python un 'PDE-constrained optimization problem' e per velocizzare l'algoritmo usato per l'ottimizzazione vorrei valutare il gradiente della funzione da minimizzare utilizzando il 'metodo aggiunto' il quale richiede di ricavare le 'equazioni aggiunte'. Da qui il problema.
Grazie ad entrambi per le risposte. Cercheró di essere piú chiaro a partire dalle notazioni:
$\cdot^{\ast}$: operatore aggiunto
$\ast$: prodotto di convoluzione
In risposta a dissonance:
$f$ e $g$ sono due funzioni a valori reali, continue e con tutte derivate continue.
Si, la mia domanda é proprio: come calcolo $B^{\ast}$?
In risposta a gugo82:
lo $\ast$ nella definizione di $B(f,\cdot)$ é un convoluzione definita rispetto a tutte le variabili, perció
$$ (f \ast g)(x,y,t) = \int_0^T \int_{\tilde{x}} \int_{\tilde{y}} f(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{t}) g(x-\tilde{x},y-\tilde{y},t-\tilde{t}) d\tilde{x} d\tilde{y} d\tilde{t} $$
Si, la notazione é un pó confusionale; mi ripeto. Sia $B(f,cdot)$ il seguente operatore
$$ B(f,\cdot) = \frac{\partial}{\partial x} [f \ast \cdot] $$
allora
\begin{equation*}
(h,B(f,g)) = (B^{\ast}(\tilde{f},h),g) + BT
\end{equation*}
dove $B^{\ast}$ é l'operatore aggiunto di $B$ e $BT$ sta per 'boundary term'.
Faccio un esempio:
siano $f=f(x)$ e $g=g(x)$ funzioni continue e con derivate continue e sia $B(\cdot)$ il seguente operatore
$$ B(\cdot) = \frac{\partial}{\partial x} $$
allora
$$ (h,B(f)) = \int_0^L h \frac{\partial f}{\partial x} dx = hf|_0^L + \int_0^L - \frac{\partial h}{\partial x} f dx = (B^{\ast}(h),f) + BT$$
dove
$$B^{\ast}(\cdot) = -\frac{\partial}{\partial x} $$
e
$$BT = hf|_0^L$$
Vorrei fare esattamente la stessa cosa ma con l'operatore $B$ sopra definito. Per risolvere il mio problema mi basterebbe anche solo sapere come viene definita $\tilde{f}$ (seconda domanda nel post iniziale).
Spero che qualcuno sia in grado di aiutarmi, ve ne sarei molto grato.
P.S: un po' di contesto. Sto implementando in python un 'PDE-constrained optimization problem' e per velocizzare l'algoritmo usato per l'ottimizzazione vorrei valutare il gradiente della funzione da minimizzare utilizzando il 'metodo aggiunto' il quale richiede di ricavare le 'equazioni aggiunte'. Da qui il problema.
Per essere piú conciso, le due domande a cui cerco risposta sono:
1) Qual é l'operatore aggiunto dell'operatore di convoluzione?
2) Siano $h=h(x)$, $f=f(x)$ e $g=g(x)$ funzioni scalari a valori reali, continue e con derivate continue e sia:
$$h(x) \cdot (f \ast g)(x) = g(x) \cdot ( \tilde{f} \ast h)(x)$$
allora, che espressione assume $\tilde{f}$?
La risposta alla domanda 1 risponde anche alla domanda 2 e viceversa.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
P.s: notazione:
$\cdot$ : prodotto
$\ast$ : prodotto di convoluzione
1) Qual é l'operatore aggiunto dell'operatore di convoluzione?
2) Siano $h=h(x)$, $f=f(x)$ e $g=g(x)$ funzioni scalari a valori reali, continue e con derivate continue e sia:
$$h(x) \cdot (f \ast g)(x) = g(x) \cdot ( \tilde{f} \ast h)(x)$$
allora, che espressione assume $\tilde{f}$?
La risposta alla domanda 1 risponde anche alla domanda 2 e viceversa.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
P.s: notazione:
$\cdot$ : prodotto
$\ast$ : prodotto di convoluzione
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