Convessità insiemi di $R^n$
Ho un dubbio che riguarda la convessità degli insiemi di $R^n$.
Ho un insieme $A$ definito da $f \leq 0$, dove $f$ nel mio caso è una forma quadratica.
Studiando la forma quadratica, cioè ad esempio stabilendo se è definita o semidefinita, posso concludere qualcosa sulla convessità di $A$?
Grazie.
Ho un insieme $A$ definito da $f \leq 0$, dove $f$ nel mio caso è una forma quadratica.
Studiando la forma quadratica, cioè ad esempio stabilendo se è definita o semidefinita, posso concludere qualcosa sulla convessità di $A$?
Grazie.
Risposte
Sì; se \(f\) è una forma quadratica semidefinita positiva, allora è convessa.
I sottolivelli di funzioni convesse sono insiemi convessi, come si può facilmente verificare: detto \(A := \{x: f(x) \leq 0\}\), con \(f\) convessa, se \(x,y\in A\) hai che
\[
f(\lambda x + (1-\lambda)y ) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y) \leq 0, \qquad \forall \lambda\in [0,1],
\]
cioè \(\lambda x + (1-\lambda)y\in A\) per ogni \(\lambda\in [0,1]\).
I sottolivelli di funzioni convesse sono insiemi convessi, come si può facilmente verificare: detto \(A := \{x: f(x) \leq 0\}\), con \(f\) convessa, se \(x,y\in A\) hai che
\[
f(\lambda x + (1-\lambda)y ) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y) \leq 0, \qquad \forall \lambda\in [0,1],
\]
cioè \(\lambda x + (1-\lambda)y\in A\) per ogni \(\lambda\in [0,1]\).
Ok grazie.
Ma vale anche il viceversa?
Perchè penso di aver dimostrato che $A$ è convesso con la definizione di convessità, però la matrice della mia forma quadratica non è semidifinita positiva.
Ma vale anche il viceversa?
Perchè penso di aver dimostrato che $A$ è convesso con la definizione di convessità, però la matrice della mia forma quadratica non è semidifinita positiva.
Se \(f\) è una funzione generica, il fatto che abbia sottolivelli convessi non implica che sia convessa (si fanno semplici controesempi anche in dimensione 1).
Se però \(f\) è una forma quadratica, a occhio (ma potrei sbagliarmi) direi che i suoi sottolivelli sono convessi se e solo se è una forma semidefinita positiva.
Perché non scrivi per esteso l'esercizio in questione?
Se però \(f\) è una forma quadratica, a occhio (ma potrei sbagliarmi) direi che i suoi sottolivelli sono convessi se e solo se è una forma semidefinita positiva.
Perché non scrivi per esteso l'esercizio in questione?
Non è propriamente un esercizio di analisi, comunque mi interessa sapere se l'insieme seguente $A$ è convesso e se la forma quadratica che regge la $f$ che definisce $A$ è convessa.
$$ A= \{ (x,y,t) x \in R^2, y \in R^2, t \in R+ : (norm(x-y))^2 - t^2 \leq 0 \}$$
Verificando la definizione a mano, riesco a dimostrare che $A$ è convesso. Scrivendo esplicitamente la forma quadratica in $R^5$ non mi sembra che la matrice associata sia semidefinita positiva.
$$ A= \{ (x,y,t) x \in R^2, y \in R^2, t \in R+ : (norm(x-y))^2 - t^2 \leq 0 \}$$
Verificando la definizione a mano, riesco a dimostrare che $A$ è convesso. Scrivendo esplicitamente la forma quadratica in $R^5$ non mi sembra che la matrice associata sia semidefinita positiva.
Se la vedi come forma quadratica in \(\mathbb{R}^5\) non è semidefinita positiva (a causa del \(-t^2\)), e infatti il suo sottolivello \(0\) non è convesso.
Nel tuo caso, però, ti stai restringendo a \(t\geq 0\) e \(A\) risulta dunque convesso.
Nel tuo caso, però, ti stai restringendo a \(t\geq 0\) e \(A\) risulta dunque convesso.
Ok grazie. Ma quindi la forma quadratica ristretta a $\mathbb{R}^4 \times (0, +\infty)$ è semidefinita positiva?
Direi di no: basta prendere \(x=y\) e \(t>0\).
Hai ragione, grazie mille!
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