Convessità, esercizio 2
Propongo un altro esercizio.
Sia $f : ] 0 , +oo [ -> RR$
Si suppone che $lim_(x -> 0^+) x f(x) = 2$ , $lim_(x -> +oo) (f(x))/x = -1$
Da questi due limiti si deduce immediatamente (è il primo punto dell'esercizio) che:
$lim_(x -> 0^+) f(x) = +oo$ , $lim_(x -> +oo) f(x) = -oo$.
Dimostrare che se $f$ è convessa e derivabile, allora $f'( ]0 , +oo [ ) subseteq ] -oo , -1 ]$.
Idee:
Basterebbe dimostrare che $AA x in ] 0 , +oo [$ , $f'(x) <= -1$.
Intanto la convessità della $f$ mi garantisce che $f'$ è monotona crescente.
Fissiamo un punto $x_0 in ] 0 , +oo [$, e applichiamo Lagrange all'intervallo $[ x_0 , x ]$.
Quindi $EE xi in ] x_0 , x [$ tale che $f'(xi) = (f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$.
Mando $ x -> +oo $ : $lim_(x -> +oo) f'(xi) = lim_(x -> +oo) (f(x) - f(x_0))/(x - x_0) = - 1$, dalle ipotesi.
E per il teorema dell'esistenza del limite per funzioni monotone (*) $Rightarrow$ $-1$ è l'estremo superiore dell'insieme dei valori assunti da $f'$.
(*) Il dubbio nasce qui. La funzione di cui vado a calcolare il limite non è $f'(x)$ ma è una certa $f'(xi)$ che spunta fuori dal teorema di Lagrange. Vale lo stesso?
Il resto è corretto?
Grazie ancora, in anticipo.
Sia $f : ] 0 , +oo [ -> RR$
Si suppone che $lim_(x -> 0^+) x f(x) = 2$ , $lim_(x -> +oo) (f(x))/x = -1$
Da questi due limiti si deduce immediatamente (è il primo punto dell'esercizio) che:
$lim_(x -> 0^+) f(x) = +oo$ , $lim_(x -> +oo) f(x) = -oo$.
Dimostrare che se $f$ è convessa e derivabile, allora $f'( ]0 , +oo [ ) subseteq ] -oo , -1 ]$.
Idee:
Basterebbe dimostrare che $AA x in ] 0 , +oo [$ , $f'(x) <= -1$.
Intanto la convessità della $f$ mi garantisce che $f'$ è monotona crescente.
Fissiamo un punto $x_0 in ] 0 , +oo [$, e applichiamo Lagrange all'intervallo $[ x_0 , x ]$.
Quindi $EE xi in ] x_0 , x [$ tale che $f'(xi) = (f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$.
Mando $ x -> +oo $ : $lim_(x -> +oo) f'(xi) = lim_(x -> +oo) (f(x) - f(x_0))/(x - x_0) = - 1$, dalle ipotesi.
E per il teorema dell'esistenza del limite per funzioni monotone (*) $Rightarrow$ $-1$ è l'estremo superiore dell'insieme dei valori assunti da $f'$.
(*) Il dubbio nasce qui. La funzione di cui vado a calcolare il limite non è $f'(x)$ ma è una certa $f'(xi)$ che spunta fuori dal teorema di Lagrange. Vale lo stesso?
Il resto è corretto?
Grazie ancora, in anticipo.
Risposte
Hai ragione a dubitare... Direi che non funziona così.
Piuttosto, per ogni fissato [tex]$x_0\in ]0,+\infty[$[/tex], considera la funzione:
[tex]$\phi (x;x_0):=\begin{cases} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &\text{, se $x\neq x_0$} \\ f^\prime (x_0) &\text{, se $x=x_0$} \end{cases}$[/tex];
se mostri che [tex]$\phi (\cdot ;x_0)$[/tex] è [tex]$\leq -1$[/tex] per ogni [tex]$x_0$[/tex] hai finito.
Visto che [tex]$f(x)$[/tex] è convessa, la [tex]$\phi (\cdot ;x_0)$[/tex] è crescente, perciò [tex]$\sup_{x\geq 0} \phi (x ;x_0) =\lim_{x\to +\infty} \phi (x; x_0)$[/tex] e quindi...
Piuttosto, per ogni fissato [tex]$x_0\in ]0,+\infty[$[/tex], considera la funzione:
[tex]$\phi (x;x_0):=\begin{cases} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &\text{, se $x\neq x_0$} \\ f^\prime (x_0) &\text{, se $x=x_0$} \end{cases}$[/tex];
se mostri che [tex]$\phi (\cdot ;x_0)$[/tex] è [tex]$\leq -1$[/tex] per ogni [tex]$x_0$[/tex] hai finito.
Visto che [tex]$f(x)$[/tex] è convessa, la [tex]$\phi (\cdot ;x_0)$[/tex] è crescente, perciò [tex]$\sup_{x\geq 0} \phi (x ;x_0) =\lim_{x\to +\infty} \phi (x; x_0)$[/tex] e quindi...
Grazie.
Mi potresti spiegare come giungi alla definizione della $f$?
Niente Lagrange, immagino.
Mi potresti spiegare come giungi alla definizione della $f$?
Niente Lagrange, immagino.
Ah, ho capito. E' la funzione rapporto incrementale prolungata per continuità.
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