Convessità ed Hessiana

[anto_zoolander]

ciao

stavo aiutando un ragazzo con analisi 2 relativamente alla caratterizzazione della convessità con l'hessiana, intanto uso il seguente teorema:

teorema(di taylor)
se $f:[a,b]->RR$ è continua in $[a,b]$ e derivabile $n+1$ volte in $(a,b)$ allora comunque io prenda $x in [a,b]$ e $x_0 in (a,b)$ posso scrivere

$f(x)=sum_(k=1)^(n)(f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k+(f^((n+1))(xi))/((n+1)!)*(x-x_0)^(n+1)$ per qualche $xi$ compreso tra $x,x_0$

mi chiede:

quando abbiamo $f:U ->RR$ di calsse $C^2(U)$ con $UsubsetRR^n$ aperto, consideriamo $f(x_0+t(y_0-x_0))$ questa è effettivamente una funzione continua in $[0,1]$ e $C^(2)$ nell'aperto $(0,1)$

supponendo che $H_(f)(x_0)$ sia semidefinita positiva, quanto è legittimo applicare lo sviluppo con resto di lagrange per arrivare a $f(y_0)geqnablaf(x_0)*(y_0-x_0)+f(x_0)$ visto che si usa il teorema sopra?

il suo dilemma risiedeva nel fatto che usando $g(t)=f(x_0+t(y_0-x_0)), t in [0,1]$ per scrivere

$g(1)=g(0)+g'(0)+1/2 g'(xi)$

si usa $t=1$ e $t_0=0$, cosa che nel th di sopra esclude, gli pareva una forzatura poiché il valore in cui si "sviluppa" è anche esso sul bordo.

secondo voi è giusto giustificarlo così?

suppongo che $H_(f)$ sia definita positiva
si prende $t=1$ e per ogni $s in (0,1)$, per il teorema di sopra, esiste un $xi_(s,t)$ per cui(pongo $x_s=x_0+s(y_0-x_0), g(t):=f(x_t)$

$g(1)=g(s)+(1-s)dot(g)(s)+1/2(1-s)^2ddot(g)(xi)$

$f(y_0)=f(x_s)+(1-s)nablaf(x_s)*(y_0-x_0)+1/2(1-s)^2(y_0-x_0)^t H_(f)(x_(xi))(y_0-x_0)$

$f(y_0)geqf(x_s)+(1-s)nablaf(x_s)*(y_0-x_0)$

valendo per ogni $s in (0,1)$ nessuno mi vieta di passare al limite per $s->0$
in particolare data la continuità di $f$ e di $nablaf$ in $x_0$ si può concludere che vale

$f(y_0)geqf(x_0)+nablaf(x_0)*(y_0-x_0)$

[dissonance]

Secondo me non c'è da fare tanti giri di parole. La funzione della \(t\) che tu consideri è regolare in un intervallo più grande di \([0, 1]\), perché \(U\) è aperto.

[anto_zoolander]

Questo l'ho pensato, però sul momento non mi era venuto di dirgli che potessi definirla su $(-epsilon,1+epsilon)$, quindi gli ho detto quanto sopra che rispetto ai miei standard di "prolissità" trovo che sia un successo