Convessità ed estensione disuguaglianza sulla frontiera
Sia $K \subseteq RR^n$ un insieme convesso, sia $x_0 \in \text{Int}(K)$ (dove $\text{Int}(K)$ indica la parte interna di $K$) e sia $f:K->RR$ una funzione convessa.
Ho dimostrato che esiste $r \in RR^n$ tale che $f(x) \ge f(x_0)+r \cdot (x-x_0)$ per ogni $x \in \text{Int}(K)$.
C'è qualche motivo per il quale posso estendere questa disuguaglianza a tutti gli $x in K$ (e non solo per gli $x \in \text{Int}(K)$)?
Ho dimostrato che esiste $r \in RR^n$ tale che $f(x) \ge f(x_0)+r \cdot (x-x_0)$ per ogni $x \in \text{Int}(K)$.
C'è qualche motivo per il quale posso estendere questa disuguaglianza a tutti gli $x in K$ (e non solo per gli $x \in \text{Int}(K)$)?
Risposte
Si, per il motivo che in un punto non nell'interno la funzione può essere discontinua, ma credo che se prendi un punto nel bordo e chiedi come ipotesi aggiuntiva che lì sia continuo, dovrebbe valere, prova a pensarci.
Se non sbaglio $f$ è continua nell'interno di $K$ perchè è convessa, ma non è detto che sia continua anche sulla frontiera di $f$. Non avendo alcuna ipotesi sulla continuità di $f$ sulla frontiera di $K$ mi chiedevo se questo risultato vale lo stesso.
La mia idea era più o meno questa: se chiamo $\dot f$ la restrizione di $f$ sull'interno di $K$ allora posso estendere per continuità $\dot f$ ad una funzione $\bar f$ su tutto $K$. Ora so che per il teorema che ho dimostrato $\bar f (x) \ge \bar f(x_0)+r \cdot (x-x_0)$ per ogni $x \in \text{Int}(K)$ e quindi (essendo $\bar f(x_0)=f(x_0)$) $\bar f(x) \ge f(x_0)+r \cdot (x-x_0)$ per ogni $x \in \text{Int}(K)$. Siccome $f$ è continua posso estendere tale disuguaglianza a tutto $K$, cioè posso affermare che $\bar f(x) \ge f(x_0)+r \cdot (x-x_0)$ per ogni $x \in K$. Intuitivamente $f(x) \ge \barf(x)$ per ogni $x \in K$ perchè $f$ è convessa, dunque $f(x) \ge \barf(x) \ge f(x_0)+r \cdot (x-x_0)$ per ogni $x \in K$.
Un ragionamento del genere potrebbe funzionare?
La mia idea era più o meno questa: se chiamo $\dot f$ la restrizione di $f$ sull'interno di $K$ allora posso estendere per continuità $\dot f$ ad una funzione $\bar f$ su tutto $K$. Ora so che per il teorema che ho dimostrato $\bar f (x) \ge \bar f(x_0)+r \cdot (x-x_0)$ per ogni $x \in \text{Int}(K)$ e quindi (essendo $\bar f(x_0)=f(x_0)$) $\bar f(x) \ge f(x_0)+r \cdot (x-x_0)$ per ogni $x \in \text{Int}(K)$. Siccome $f$ è continua posso estendere tale disuguaglianza a tutto $K$, cioè posso affermare che $\bar f(x) \ge f(x_0)+r \cdot (x-x_0)$ per ogni $x \in K$. Intuitivamente $f(x) \ge \barf(x)$ per ogni $x \in K$ perchè $f$ è convessa, dunque $f(x) \ge \barf(x) \ge f(x_0)+r \cdot (x-x_0)$ per ogni $x \in K$.
Un ragionamento del genere potrebbe funzionare?
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