Convessità e Derivate
Salve a tutti.
Sono incappato in un teorema che non mi sto riuscendo a spiegare.
Sia f : (a, b) -> R.
a) Se f è derivabile in (a, b), allora f è convessa (concava) in (a, b) se e solo se f' è crescente (decrescente) in (a, b).
b) Se f è derivabile due volte in (a, b), allora f è convessa (concava) in (a, b) se e solo se f''(x) >= 0 (<= 0) per ogni x € (a, b)
La seconda parte è ok, però sulla prima parte non capisco cosa c'entri la convessità con il comportamento della derivata prima!
Per esempio ho preso x^2.
La sua derivata prima, 2x, è decrescente prima di 0 e crescente dopo 0, quindi, secondo il punto a del teorema, dovrebbe essere concava prima di 0 e convessa dopo! Ma sappiamo bene che y = x^2 è una parabola convessa...
Il testo è "Analisi Matematica 1" (Bramanti, Pagani, Salsa) e il teorema è il 4.11
Grazie a chi potrà aiutarmi...
Sono incappato in un teorema che non mi sto riuscendo a spiegare.
Sia f : (a, b) -> R.
a) Se f è derivabile in (a, b), allora f è convessa (concava) in (a, b) se e solo se f' è crescente (decrescente) in (a, b).
b) Se f è derivabile due volte in (a, b), allora f è convessa (concava) in (a, b) se e solo se f''(x) >= 0 (<= 0) per ogni x € (a, b)
La seconda parte è ok, però sulla prima parte non capisco cosa c'entri la convessità con il comportamento della derivata prima!
Per esempio ho preso x^2.
La sua derivata prima, 2x, è decrescente prima di 0 e crescente dopo 0, quindi, secondo il punto a del teorema, dovrebbe essere concava prima di 0 e convessa dopo! Ma sappiamo bene che y = x^2 è una parabola convessa...
Il testo è "Analisi Matematica 1" (Bramanti, Pagani, Salsa) e il teorema è il 4.11
Grazie a chi potrà aiutarmi...
Risposte
Il fatto che \(2x\) sia decrescente prima di \(0\) mi giunge totalmente nuovo...
Perdonatemi, ho male interpretato il testo. Nel punto a, se f' è crescente significa fare la derivata di f', quindi la derivata seconda di f, e studiarne il segno, no?
Grazie gugo82, e scusa per la ca**ata che ho sparato
Grazie gugo82, e scusa per la ca**ata che ho sparato
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