Convessità e concavità di funzioni in due variabili
Ciao a tutti,
sto incontrando alcuni problemi nel risolvere un esercizio in cui và stabilita l'eventuale convessità/concavità di una funzione in due variabili data:
$f(x,y)=xy : [1,+infty)$ x $[1,+infty) -> R$
Il corso che sto seguendo non è di Analisi, ma di Modelli di Ottimizzazone, quindi ci limitiamo a seguire il procedimento indicato dal professore, mediante Matrice di Hesse e Derivate parziali.
Il metodo consiste nel calcolare 3 quantità, e poi osservarne il segno:
1- $(partial^2 f(x,y))/(partialx^2)$
2- $(partial^2 f(x,y))/(partialy^2)$
3- $((partial^2 f(x,y))/(partialx^2) * (partial^2 f(x,y))/(partialy^2)) - ((partial^2 f(x,y))/(partialx partialy))^2$
La 1 e la 2 sarebbero gli elementi della diagonale principale, la 3 il determinante (credo!), ora, dalla tabella risulta che:
CONVESSA se $1,2,3 >= 0$
STR. CONVESSA se $1,2,3 > 0$
CONCAVA se $1>=0$ e $2,3<=0$
STR. CONCAVA se $1>0$ e $2,3<0$
Ora, risolvendo i punti dell'esercizio ottengo:
1- $(partial^2 xy)/(partialx^2)=0$
2- $(partial^2 xy)/(partialy^2)=0$
3- $((partial^2 xy)/(partialx^2) * (partial^2 xy)/(partialy^2)) - ((partial^2 xy)/(partialx partialy))^2=-1$
Come mi regolo ora, dato che la 3 è negativa? Nei casi non è contemplato, quindi posso affernare che non è nè concava nè convessa?
Grazie in anticipo,
Lorenzo
sto incontrando alcuni problemi nel risolvere un esercizio in cui và stabilita l'eventuale convessità/concavità di una funzione in due variabili data:
$f(x,y)=xy : [1,+infty)$ x $[1,+infty) -> R$
Il corso che sto seguendo non è di Analisi, ma di Modelli di Ottimizzazone, quindi ci limitiamo a seguire il procedimento indicato dal professore, mediante Matrice di Hesse e Derivate parziali.
Il metodo consiste nel calcolare 3 quantità, e poi osservarne il segno:
1- $(partial^2 f(x,y))/(partialx^2)$
2- $(partial^2 f(x,y))/(partialy^2)$
3- $((partial^2 f(x,y))/(partialx^2) * (partial^2 f(x,y))/(partialy^2)) - ((partial^2 f(x,y))/(partialx partialy))^2$
La 1 e la 2 sarebbero gli elementi della diagonale principale, la 3 il determinante (credo!), ora, dalla tabella risulta che:
CONVESSA se $1,2,3 >= 0$
STR. CONVESSA se $1,2,3 > 0$
CONCAVA se $1>=0$ e $2,3<=0$
STR. CONCAVA se $1>0$ e $2,3<0$
Ora, risolvendo i punti dell'esercizio ottengo:
1- $(partial^2 xy)/(partialx^2)=0$
2- $(partial^2 xy)/(partialy^2)=0$
3- $((partial^2 xy)/(partialx^2) * (partial^2 xy)/(partialy^2)) - ((partial^2 xy)/(partialx partialy))^2=-1$
Come mi regolo ora, dato che la 3 è negativa? Nei casi non è contemplato, quindi posso affernare che non è nè concava nè convessa?
Grazie in anticipo,
Lorenzo
Risposte
Sei sicuro di avere riportato correttamente la tabella?
Se il determinante della matrice hessiana (la terza quantità da te indicata) è negativo, gli autovalori della matrice (simmetrica) hanno segno opposto dunque la funzione non è né concava né convessa.
Se il determinante della matrice hessiana (la terza quantità da te indicata) è negativo, gli autovalori della matrice (simmetrica) hanno segno opposto dunque la funzione non è né concava né convessa.
Innanzitutto grazie per la risposta!
Ho riportato la tabella come da Appendice A di Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity (Papadimitriou), puoi vedere anche l'immagine seguente:
Quindi penso si possa concludere che $f(x,y)=xy$ non è nè convessa nè concava, nemmeno restringendo il dominio.
Ora sto risolvendo quest'altra:
- $f(x,y)=1/(xy)$ definita in $[0,+infty)$x$[0,+infty)->R$
Risolvo:
1- $(partial^2 1/(xy))/(partialx^2)=2/(x^3y)$
2- $(partial^2 1/(xy))/(partialy^2)=2/(y^3x$
3- $((partial^2 1/(xy))/(partialx^2) * (partial^2 1/(xy))/(partialy^2)) - ((partial^2 1/(xy))/(partialx partialy))^2=3/(x^4y^4)$
Quindi la $1,2,3$ sono SEMPRE $>=0$ e quindi è una funzione Convessa, escludendo lo 0 sarebbe stata Strettamente Convessa.
E' corretto il ragionamento?
Grazie ancora,
Lorenzo
Ho riportato la tabella come da Appendice A di Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity (Papadimitriou), puoi vedere anche l'immagine seguente:
Quindi penso si possa concludere che $f(x,y)=xy$ non è nè convessa nè concava, nemmeno restringendo il dominio.
Ora sto risolvendo quest'altra:
- $f(x,y)=1/(xy)$ definita in $[0,+infty)$x$[0,+infty)->R$
Risolvo:
1- $(partial^2 1/(xy))/(partialx^2)=2/(x^3y)$
2- $(partial^2 1/(xy))/(partialy^2)=2/(y^3x$
3- $((partial^2 1/(xy))/(partialx^2) * (partial^2 1/(xy))/(partialy^2)) - ((partial^2 1/(xy))/(partialx partialy))^2=3/(x^4y^4)$
Quindi la $1,2,3$ sono SEMPRE $>=0$ e quindi è una funzione Convessa, escludendo lo 0 sarebbe stata Strettamente Convessa.
E' corretto il ragionamento?
Grazie ancora,
Lorenzo
"Rigel":
Sei sicuro di avere riportato correttamente la tabella?
Se il determinante della matrice hessiana (la terza quantità da te indicata) è negativo, gli autovalori della matrice (simmetrica) hanno segno opposto dunque la funzione non è né concava né convessa.
Non vorrei aver capito male!
Quindi in questo caso dato che il det è <0 e gli autovalori sono 0 cosa possiamo dire?
Rigel ti sei dimenticato di me? 
Se il determinante della matrice hessiana (la prima espressione nella tabella del libro) è negativo, la funzione non è né concava né convessa (infatti vedi bene che, in quella prima riga, si richiede sempre che sia \(\geq 0\) o \(>0\)), indipendentemente dal segno delle derivate seconde pure.
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