Convessità di una funzione minimo
Salve a tutti, volevo porvi un quesito su quale ho qualche dubbio.
Il problema chiede di stabilire la convessità, concavità o nessuna delle due di una funzione
\(\displaystyle f(x,y)=\min {x, y/(1+y)}
\)
con x, y esclusivamente positivi.
Non riesco a trovare una strada per arrivare ad una certa conclusione.
Per una funzione max invece, si può ragionare guardando all'epigrafico. Infatti se questo è convesso anche la funzione è convessa, e poiché l'epigrafico di una funzione max è l'intersezione degli epigrafici delle funzioni contenute tra le parentesi graffe, se queste sono convesse anche l'intersezione sarà convesso e quindi la funzione max di funzioni convesse su un insieme convesso è convessa.
Nel caso della funzione min forse, e dico forse, l'epigrafico sarà l'unione degli epigrafici ma anche se questi sono convessi, l'unione di convessi non è in generale vero che sia convesso.
Qualche suggerimento?
Grazie.
Il problema chiede di stabilire la convessità, concavità o nessuna delle due di una funzione
\(\displaystyle f(x,y)=\min {x, y/(1+y)}
\)
con x, y esclusivamente positivi.
Non riesco a trovare una strada per arrivare ad una certa conclusione.
Per una funzione max invece, si può ragionare guardando all'epigrafico. Infatti se questo è convesso anche la funzione è convessa, e poiché l'epigrafico di una funzione max è l'intersezione degli epigrafici delle funzioni contenute tra le parentesi graffe, se queste sono convesse anche l'intersezione sarà convesso e quindi la funzione max di funzioni convesse su un insieme convesso è convessa.
Nel caso della funzione min forse, e dico forse, l'epigrafico sarà l'unione degli epigrafici ma anche se questi sono convessi, l'unione di convessi non è in generale vero che sia convesso.
Qualche suggerimento?
Grazie.
Risposte
La seconda funzione mi pare concava, no? Mentre la prima è sia concava sia convessa. Sono buoni quei ragionamenti che fai con gli epigrafici, vedi un po' se riesci a provare che $f$ è concava.
Ok grazie per il suggerimento. Comunque girovagando su internet con un po' di difficoltà sono riuscito a trovare la dimostrazione che se le due funzioni sono concave anche il minimo è concavo, utilizzando semplicemente la definizione standard di convessità. Se qualcuno è interessato posso postare la dimostrazione. 
Ma scusa, una obiezione viene naturale. Se tu sei in grado di dimostrare, usando gli epigrafici, che il *massimo* di funzioni *convesse* è convesso, per quale motivo non dovresti essere in grado, con la stessa dimostrazione, di provare che il *minimo* di funzioni *concave* è concavo? E' proprio la stessa cosa, direi.
Ovvio, si. Dire che una funzione è convessa o che il suo epigrafico è convesso è la stessa cosa.
Dicevo quella che ho trovato su internet non utilizzava gli epigrafici.
Invece tenendo presente che la funzione $ \min f(x) $ è uguale a $ -\max -f(x) $ e che se $f$ è concava, $-f$ è convessa, ci si riconduce al caso che ho indicato nel primo intervento.
Infatti ero vicino ma non ero riuscito a fare questo collegamento.
Grazie.
Ciao
Dicevo quella che ho trovato su internet non utilizzava gli epigrafici.
Invece tenendo presente che la funzione $ \min f(x) $ è uguale a $ -\max -f(x) $ e che se $f$ è concava, $-f$ è convessa, ci si riconduce al caso che ho indicato nel primo intervento.
Infatti ero vicino ma non ero riuscito a fare questo collegamento.
Grazie.
Ciao
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