Convessità delle mie brame

[Seneca1]

Esercizio: Sia $f : RR -> RR$ convessa.

Se $x_1 < x_2 in RR$ e se $ f(x_1) <= f(x_2)$, allora $f$ è crescente su $[ x_2 , +oo [$.

Svolgimento:

Poiché non è richiesta la derivabilità di $f$ mi è venuto in mente un lemma che stabilisce che una condizione equivalente alla convessità è la seguente:

$AA x < y < z in RR$ si deve avere che $(f(y) - f(x))/(y - x) <= (f(z) - f(x))/(z - x) <= (f(z) - f(y))/(z - y)$

Scelgo altri due punti $xi < mu in [ x , +oo [$, e applico due volte il lemma (prendendo come punti prima $x_1 < x_2 < xi$ e poi $x_2 < xi < mu$ ).
Ottengo due ingombranti disuguaglianze:

$0 <= (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) <= (f(xi) - f(x_1))/(xi - x_1) <= (f(xi) - f(x_2))/(xi - x_2)$ (1)

$(f(xi) - f(x_2))/(xi - x_2) <= (f(mu) - f(x_2))/(mu - x_2) <= (f(mu) - f(xi))/(mu - xi)$ (2)

Concateno e trovo:

$0 <= (f(mu) - f(xi))/(mu - xi)$

Da cui $f(mu) >= f(xi)$ , cioè la tesi.

E' corretto il tutto?

Grazie dell'aiuto.

[valentina921]

Aaaaah è vero, se prendessi $x