Convessità delle mie brame

[Seneca1]

Esercizio: Sia $f : RR -> RR$ convessa.

Se $x_1 < x_2 in RR$ e se $ f(x_1) <= f(x_2)$, allora $f$ è crescente su $[ x_2 , +oo [$.

Svolgimento:

Poiché non è richiesta la derivabilità di $f$ mi è venuto in mente un lemma che stabilisce che una condizione equivalente alla convessità è la seguente:

$AA x < y < z in RR$ si deve avere che $(f(y) - f(x))/(y - x) <= (f(z) - f(x))/(z - x) <= (f(z) - f(y))/(z - y)$

Scelgo altri due punti $xi < mu in [ x , +oo [$, e applico due volte il lemma (prendendo come punti prima $x_1 < x_2 < xi$ e poi $x_2 < xi < mu$ ).
Ottengo due ingombranti disuguaglianze:

$0 <= (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) <= (f(xi) - f(x_1))/(xi - x_1) <= (f(xi) - f(x_2))/(xi - x_2)$ (1)

$(f(xi) - f(x_2))/(xi - x_2) <= (f(mu) - f(x_2))/(mu - x_2) <= (f(mu) - f(xi))/(mu - xi)$ (2)

Concateno e trovo:

$0 <= (f(mu) - f(xi))/(mu - xi)$

Da cui $f(mu) >= f(xi)$ , cioè la tesi.

E' corretto il tutto?

Grazie dell'aiuto.

[Rigel1]

Direi che va bene.
Per inciso, tra le righe hai dimostrato che se $[a,b]$ e $[c,d]$ sono due intervalli (non banali) contenuti nel dominio di una funzione convessa $f$, con $a\le c$ e $b\le d$, allora
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \le \frac{f(d)-f(c)}{d-c}$,
proprietà che può essere utile tenere a mente.

[Seneca1]

"Rigel":Direi che va bene.
Per inciso, tra le righe hai dimostrato che se $[a,b]$ e $[c,d]$ sono due intervalli (non banali) contenuti nel dominio di una funzione convessa $f$, con $a\le c$ e $b\le d$, allora
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \le \frac{f(d)-f(c)}{d-c}$,
proprietà che può essere utile tenere a mente.

Ti ringrazio nuovamente di cuore.

Per quanto riguarda la tua ultima osservazione, come mai metti in rilievo quest'ultima proprietà? Alludi a qualcosa in particolare?

[Rigel1]

Niente di particolare; vedi bene però che il tuo esercizio si sarebbe concluso in una riga utilizzando direttamente questa proprietà (che comunque tu hai correttamente dimostrato).
E' opportuno ricordarsi che i rapporti incrementali sono crescenti (nel senso descritto nel precedente post).

Di fatto la principale proprietà differenziale di una funzione convessa è la seguente: se $f: (a,b)\to\mathbb{R}$ è una funzione convessa, le derivate sinistra e destra sono definite ovunque e sono funzioni monotone crescenti. Inoltre $f_{-}'(x) \le f_+'(x) \le f_{-}'(y)$ per ogni $x < y$.
Questa proprietà differenziale discende dalle disuguaglianze valide per i rapporti incrementali.

[Seneca1]

Grazie Rigel.

Ho un altro breve esercizio da sottoporti, se hai ancora un po' di pazienza.


Esercizio: Sia $f : ] 0 , 1 [ -> RR$ e supponiamo che:

$lim_(x -> 0^+ ) f(x) = +oo$
$lim_(x -> 1^- ) f(x) = -oo$

Devo dimostrare che $f$ non può essere convessa.

Svolgimento:

Se $f$ fosse convessa, in ogni punto interno $0 < x_0 < 1$ la funzione ammetterebbe una retta di appoggio al grafico, $g$, passante per $f(x_0)$ e tale che $AA x in ] 0 , 1 [ , f(x) >= g(x)$.

Considero una $g$ qualunque di appoggio al grafico. Passando al limite troverei che $- oo = lim_(x -> 1^-) f(x) >= lim_(x -> 1^-) g(x) = g(1) in RR$ , che è assurdo.

[Rigel1]

Direi che va bene.
L'unico piccolo appunto è che la retta supporto passa per $(x_0, f(x_0))$.

[Seneca1]

Ottimo!

[valentina921]

Scusate se mi intrometto (e dopo un anno!),volevo chiedere: l'ultima dimostrazione che ha fatto Seneca dimostra anche che una funzione convessa in [a,b] non può che essere continua in [a,b]?

[dissonance]

"valentina92":Scusate se mi intrometto (e dopo un anno!),volevo chiedere: l'ultima dimostrazione che ha fatto Seneca dimostra anche che una funzione convessa in [a,b] non può che essere continua in [a,b]?

E penso di no visto che è falso. Per esempio la funzione

\[f(x)=\begin{cases} 1 & x=0 \\ 0 & 0
è convessa in \([0, 1]\) ma non è continua in \(0\) e in \(1\). La proprietà che dici però è vera negli intervalli aperti.

[valentina921]

E allora cosa vuole dire il mio libro con questo esercizio? "Dimostrare la seguente implicazione:
$f:[a,b]-> RR$ convessa $rArr f $continua in $(a,b).$

Mi sono accorta che prima avevo scritto continua in [a,b] chiuso, è questo il punto?

[dissonance]

Si, si, è solo quello il problema. In \((a, b)\) una funzione convessa è sicuramente continua. Lo devi dimostrare però (è un po' laborioso). Cerca di ragionare graficamente.

[Seneca1]

Non è laborioso se dai prima una proposizione sulle funzioni convesse, e cioè:

$f$ convessa in $[a,b]$ se e solo se $EE f'_+ (x) , f'_(-) (x)$ (sono finite se $x$ è un punto interno), $AA x in [a,b]$.

Allora, assunto questo risultato, dimostrare la continuità è semplice:

$lim_(x -> x_0^+) f(x) - f(x_0) = lim_(x -> x_0^+) (f(x) - f(x_0))/(x - x_0) * (x - x_0) = f'_+ (x_0) * 0 = 0$

quindi $lim_(x -> x_0^+) f(x) = f(x_0)$.

Analogamente per $x -> x_0^-$.

[dissonance]

Ehi, è vero. Messa così è più semplice. Io mi ricordo ancora il senso di angoscia che provavo nel vedere il professore di Analisi 1 nello scrivere tutte quelle formule alla lavagna, mentre dimostrava questa proposizione... Ricordo anche che non ci capii un tubo.

"Seneca":$f$ convessa in $[a,b]$ se e solo se $EE f'_+ (x) , f'_(-) (x)$ (sono finite se $x$ è un punto interno), $AA x in [a,b]$.

Vabbè, qua manca chiaramente qualche cosa. Secondo me funziona se aggiungi
\[f'_{-}(x) \le f'_{+}(x)\le f'_{-}(y) \le f'_{+}(y) \quad \forall x

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[Seneca1]

"dissonance":Ehi, è vero. Messa così è più semplice. Io mi ricordo ancora il senso di angoscia che provavo nel vedere il professore di Analisi 1 nello scrivere tutte quelle formule alla lavagna, mentre dimostrava questa proposizione... Ricordo anche che non ci capii un tubo.
[quote="Seneca"]$f$ convessa in $[a,b]$ se e solo se $EE f'_+ (x) , f'_(-) (x)$ (sono finite se $x$ è un punto interno), $AA x in [a,b]$.

Vabbè, qua manca chiaramente qualche cosa. Secondo me funziona se aggiungi
\[f'_{-}(x) \le f'_{+}(x)\le f'_{-}(y) \le f'_{+}(y) \quad \forall x
Ah vero! Usando solo un'implicazione non mi sono ricordato delle disuguaglianze. Grazie.

Ho l'impressione però che per dimostrare quella proposizione che ho premesso bisogna sudare abbastanza. Non ricordo...

[valentina921]

Ma perchè $f$ sia convessa in $[a,b]$ non deve essere per forza derivabile su quest'intervallo, no? Ancora non riesco a farmi venire questi ragionamenti spontaneamente, sarà che sono all'inizio e non sono abituata, non lo so

[Rigel1]

No. La funzione $f(x) = |x|$ è convessa in $\RR$, ma non è differenziabile in $x=0$.

[valentina921]

Esatto, infatti. Adesso provo a ragionare sulla dimostrazione. Grazie mille..

[valentina921]

Con la dimostrazione sulla continuità ci sono.

"dissonance":Vabbè, qua manca chiaramente qualche cosa. Secondo me funziona se aggiungi
\[f'_{-}(x) \le f'_{+}(x)\le f'_{-}(y) \le f'_{+}(y) \quad \forall x
Questa condizione riguarda la crescenza di f? C'entra con questa?

"$f : [a,b] -> RR$ è convessa in $[a,b]$ se e solo se

$(f(z)-f(x))/(z-x) <= (f(y)-f(x))/(y-x) <= (f(y)-f(z))/(y-z)$ per ogni $x,y,z$ tali che $a<=x
Io credo di aver capito che il concetto che questa proposizione esprime sia, graficamente, riguardante il coefficiente angolare delle secanti il grafico della funzione in quei punti (a coppie). Ho provato a fare un disegno per visualizzare il concetto, ma non riesco a capire perchè il coefficiente angolare della secante la curva in x e z è per forza minore di quello della secante in y e x, dato che le condizioni specificano che deve essere $a<=x
Ho l'impressione che mi sto confondendo, ma non riesco a mettere ordine

[dissonance]

C'entra, c'entra, ma non ti confondere. La proposizione che citi è fondamentale e si chiama lemma delle tre corde (cfr. Webster, Convexity). Hai ragione a volerla visualizzare geometricamente perché analiticamente è difficile da ricordare. Ti lascio uno screenshot del libro già citato dove secondo me questo lemma è spiegato molto bene. Osserva che il libro trascura di provare il "se e solo se", a lui interessa solo il "solo se" (\(f\) è convessa \(\Rightarrow\) vale il lemma delle tre corde).


Il discorso che fa Seneca è una conseguenza di questo lemma e puoi vedertelo dopo (se vuoi). Non è una proprietà altrettanto importante, comunque.

[valentina921]

In effetti qua ci sono dei passaggi in più che nelle mie dispense vengono tralasciati. Ora ci ragiono sopra. Il disegno che mi ero fatta io era così, solo che avevo preso f(x)>f(y) ..... immagino che ragionando su questa spiegazione capirò perchè non andava bene..
Grazie mille davvero

[dissonance]

"valentina92":avevo preso f(x)>f(y) ..... immagino che ragionando su questa spiegazione capirò perchè non andava bene..

Andava bene lo stesso. Può pure capitare che \(f(x)=f(y)\).