Convergenza:puntale e uniforme

[lunaxv]

Ciao a tutti,

chiedo se qualcuno puo' spiegarmi la differenza fra convergenza puntuale e uniforme delle serie di funzioni.

Il mio libro riporta la definizione formale e mooolto ostica...


Grazie

[Sk_Anonymous]

La definizione e' questa:
Si dice che una serie di funzioni reali ,definite in un
insieme I di R,converge puntualmente(uniformemente )
in I verso la funzione reale f se converge puntualmente(uniformemente)
verso f la successione delle somme parziali della serie.
Resta dunque da definire la convergenza puntuale (uniforme)
di una successione di funzioni reali.

a)si dice che una successione di funzioni reali fk definite in un I di R converge puntualmente verso f se per ogni e>0 e per ogni
x di I esiste un numero n(e,x),dipendente quindi da "e" e da x,
tale che :
|fk(x)-f(x)|n(e,x)

b)si dice che una successione di funzioni reali fk definite in un I di R converge uniformemente verso f se per ogni e>0 e per
ogni x di I esiste un numero n(e),dipendente quindi solo da "e"
ma NON DA x,tale che:
|fk(x)-f(x)|n(e)
La convergenza uniforme implica quella puntuale,ma il contrario
non e' sempre vero.
karl

[Cavia1]

Alla bruta:
la convergenza uniforme richiede che la "velocità di convergenza" sia fondamentalmente la stessa in ogni punto. Se c'è una grande differenza di velocità nei vari punti ecco che la convergenza è solo puntuale, ma non uniforme e persino il limite di funzioni continue può avere uno "strappo".

Cavia