Convergenza/divergenza integrale

[gianni971]

Buongiorno, in un esercizio assegnatomi, mi si richiede di stabilire se gli integrali impropri indicati sono convergenti o divergenti:

$a)$ \(\int_0^1\frac{\sin x}{\sqrt{x^3}}\ dx\)

$b)$ \(\int_0^3\frac{x+1}{2\ln x}dx\)

In entrambi i casi il "problema" si presenta in x=0 ed entrambe le funzioni integrande tendono a zero quando x tende a zero.

Le funzioni, quindi, non sono illimitate.

Le funzioni sono integrabili in senso proprio (secondo Riemann) o lo sono in senso generalizzato? Inoltre, come faccio a dimostrare (senza calcolarli) che gli integrali convergono?

Grazie per le eventuali risposte.

[Weierstress]

Nel primo esercizio, nota che per \(\displaystyle x\rightarrow 0 \) si ha \[\displaystyle \frac{\sin x}{x^{\frac{3}{2}}}\sim \frac{x}{x^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\sqrt x} \] mentre nel secondo \[\displaystyle \frac{x+1}{2\log x}\sim \frac{1}{\log x}=\frac{1}{x^{0}\log x} \] Dovresti riuscire a concludere per confronto asintotico con gli integrali notevoli.