Convergenza uniforme sull'insieme A U B.

[Fedecart]

Si provi che se un successione di funzioni converge unifomemente in [tex]A[/tex] e in [tex]B[/tex], allora essa converge uniformemente in [tex]A\cup B[/tex]

[Gatto891]

Qualche tua idea su come provare a risolverlo?

[gugo82]

Prova ad indovinare...

[Fedecart]

Mah io l'ho già provato. Non è difficile... Semplicemente mi è piaciuto e ho voluto proprovelo.

[gugo82]

Aaaaaah... Non l'avevo capito.

E comunque dovrebbe essere semplice: basta fare due maggiorazioni simpatiche, direi.
Lascio la palla a chi vuole esercitarsi.

[Fedecart]

Io l'avevo fatto senza maggiorare, considerando il fatto che il sup è unico...

[ViciousGoblin]

Vuoi dire sfruttando il fatto che $"sup"_{x\in A\cup B}f(x)="max"("sup"_{x\in A}f(x),"sup"_{x\in B}f(x))$ ?

[gugo82]

@VG: Stesso mio post... Che avevo cancellato per non levare lo sfizio ai giovani!

[ViciousGoblin]

"gugo82":@VG: Stesso mio post... Che avevo cancellato per non levare lo sfizio ai giovani!

oops mi scuso con i giovani.

[Fedecart]

Però pare che ai giovani non importi tanto!

[gugo82]

"Fedecart":Però pare che ai giovani non importi tanto!

In effetti gli studenti non si impegnano tanto nella soluzione di problemi che proponiamo... Stiamo pensando di metterci una pezza; dateci solo il tempo di organizzarci.

[maurer]

"gugo82":[quote="Fedecart"]Però pare che ai giovani non importi tanto!

In effetti gli studenti non si impegnano tanto nella soluzione di problemi che proponiamo... Stiamo pensando di metterci una pezza; dateci solo il tempo di organizzarci. [/quote]

Beh, dai! Io ci provo sempre, quando trovo degli esercizi!

Scherzi a parte, mi piace l'idea. Propongo un rilancio molto semplice: mostrare che la tesi di Fedecart è ancora vera quando agli insiemi [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] si sostituisca una famiglia finita [tex]\{A_i\}_{i = 0}^n[/tex] di insiemi. Lo troviamo un controesempio quando alla famiglia finita ne sostituiamo una infinita?

Propongo anche questo, molto bello (mi ha fatto penare per qualche giorno...):

Esercizio. Siano date una successione di funzioni [tex]\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\subset \mathcal{C}([a,b])[/tex] e sia [tex]f \in \mathcal{C}([a,b])[/tex] una funzione continua. Supponiamo che tutte queste funzioni siano debolmente crescenti su tutto [tex][a,b][/tex]. Supponiamo inoltre che esista un sottoinsieme [tex]J \subseteq [a,b][/tex] denso tale che [tex]a, b \in J[/tex]. Dimostrare che la convergenza puntuale su [tex]J[/tex] implica la convergenza uniforme su [tex]I[/tex].

[Rigel1]

"maurer":
Esercizio. Siano date una successione di funzioni [tex]\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\subset \mathcal{C}([a,b])[/tex] e sia [tex]f \in \mathcal{C}([a,b])[/tex] una funzione continua. Supponiamo che tutte queste funzioni siano debolmente crescenti su tutto [tex][a,b][/tex]. Supponiamo inoltre che esista un sottoinsieme [tex]J \subseteq [a,b][/tex] denso tale che [tex]a, b \in J[/tex]. Dimostrare che la convergenza puntuale su [tex]J[/tex] implica la convergenza uniforme su [tex]I[/tex].

Anche se non sono più uno studente, propongo in spoiler la mia soluzione.

Sia $\epsilon>0$ fissato. Poiché $f$ è uniformemente continua in $[a,b]$, esiste $\delta>0$ t.c. $|f(x)-f(y)| < \epsilon / 2$ per ogni $x,y\in [a,b]$, $|x-y|<\delta$.
Sia $N\in \mathbb{N}$, $N> 2 (b-a) / \delta$; per densità esistono $2N+1$ punti di $J$,
$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{2N} = b, \ \ x_j\in J\cap ( a + (j-1)\frac{b-a}{2N},\ a + j\frac{b-a}{2N}),\ \forall j\in\{1,\ldots,2N-1\}.$
E' chiaro che $x_{j}-x_{j-1} < \delta$ per ogni $j=1,\ldots,2N$.
Per l'ipotesi di convergenza puntuale su $J$, esiste $m\in\mathbf{N}$ tale che
$|f_n(x_j) - f(x_j)| < \epsilon/2,\ \ \forall n>m,\ \forall j=0,\ldots, 2N.$
Dato $x\in [a,b]$, sia $j\in\{1,\ldots 2N\}$ tale che $x_{j-1}\le x \le x_j$.
Usando l'ipotesi di monotonia delle $f_n$ avremo che
$f_n(x) - f(x) \le f_n(x_j) - f(x) \le f_n(x_j) - f(x_j) + f(x_j) - f(x) < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon,\ \ \forall n > m$.
Analogamente si dimostra che
$f_n(x) - f(x) > -\epsilon\ \ \ \forall n>m.$

[maurer]

Molto bene.

[dissonance]

Per chi ha già risolto il problema:

[EDIT] Errore mio, quanto scritto nello spoiler non si applica al problema in questione. Lasciate perdere. [/edit]

Una generalizzazione all'acqua (all'acqua nel senso che allunga il brodo ma non aggiunge molta sostanza) si trova qui:

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#391852

non ci sono idee nuove che Rigel non abbia già introdotto, ma il contesto è più generale, si parla di spazi metrici compatti. In realtà la stessissima dimostrazione funziona se $K$ è uno spazio topologico compatto e di Hausdorff. Pare che questo risultato sia dovuto a Dini.

[Rigel1]

In realtà si tratta di un altro risultato.
Il teorema da te citato riguarda successioni monotone di funzioni, non successioni di funzioni monotone!

[dissonance]

Uuh è vero mi sono confuso! Ho postato il link in automatico senza controllare per bene. E allora il mio post precedente non generalizza nulla, anzi direi che c'è poco da generalizzare, il concetto di funzione monotona fuori da un intervallo non mi pare abbia vita facile. Scusate la svista.

[Rigel1]

Eh eh, succede.
Visto che in altri post parlavi di funzioni BV, un risultato vagamente imparentato all'esercizio proposto è il teorema di Helly.

[dissonance]

E' questo? (uno dei due)

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Helly

Se capisco bene si tratta di una specie di "teorema di convergenza dominata" nel duale di [tex]C ([a, b])[/tex]. Invece il secondo mi pare ricordi il teorema di Banach-Alaoglu: da una successione limitata in un senso forte si estrae una sottosuccessione convergente in un senso più debole.

[Rigel1]

Sì; il secondo è un teorema di compattezza, molto utilizzato ad esempio nell'ambito delle leggi di conservazione (dove le soluzioni sviluppano discontinuità - gli shocks) per ottenere esistenza di soluzioni. Lì si costruisce una successione di soluzioni approssimate in BV, tipicamente costanti a tratti; poi (con molta fatica) si fa vedere che la successione è equilimitata in BV, e si usa il teorema di Helly per estrarre una sottosuccessione convergente puntualmente a una funzione BV.

Se non ricordo male, la dimostrazione procede riducendosi prima al caso di funzioni monotone (usando il fatto che una funzione BV su un intervallo è differenza di due funzioni monotone crescenti); poi si usa un argomento diagonale per estrarre una sottosuccessione che converge puntualmente su un insieme numerabile denso di punti; infine si usa un argomento simile a quello usato nell'esercizio proposto per ottenere la convergenza puntuale su tutto l'intervallo.

[dissonance]

Capisco e ti ringrazio per le informazioni. Tra l'altro ora che me lo fai notare mi sto accorgendo che questa tecnica:

poi si usa un argomento diagonale per estrarre una sottosuccessione che converge puntualmente su un insieme numerabile denso di punti; infine si usa un argomento simile a quello usato nell'esercizio proposto per ottenere la convergenza puntuale su tutto l'intervallo.

si usa spesso, anzi direi che è "la" tecnica per dimostrare teoremi di compattezza. Ad esempio, anche il teorema di Ascoli-Arzelà si può dimostrare così (sono sicuro perché ho appena controllato sul libro ).