Convergenza uniforme successione di funzioni senza estremo superiore
Durante lo svolgimento di un esercizio di mi sono trovato di fronte alla seguente successioni di funzioni:
$fn(x)=(x^2)/(n+x^2)$
Devo stabilire se converge uniformemente su $ mathbb(R) $
Di conseguenza:
$lim_(n->+oo) SUP_(x in mathbb(R)) |x^2/(n+x^2)-0|$
$lim_(n->+oo) SUP_(x in mathbb(R)) (x^2/(n+x^2))$
Studio la derivata prima per trovare il $ SUP $ ed ottengo che:
$g'(x)=(2xn)/(n+x^2)^2$
Che è crescente per $ x > 0$
Come ci accorgiamo essendo definita in $ mathbb(R) $ non ha estremo superiore.
Di conseguenza posso affermare che non converge uniformemente su $ mathbb(R) $ in quanto non è presente l'estremo superiore?
$fn(x)=(x^2)/(n+x^2)$
Devo stabilire se converge uniformemente su $ mathbb(R) $
Di conseguenza:
$lim_(n->+oo) SUP_(x in mathbb(R)) |x^2/(n+x^2)-0|$
$lim_(n->+oo) SUP_(x in mathbb(R)) (x^2/(n+x^2))$
Studio la derivata prima per trovare il $ SUP $ ed ottengo che:
$g'(x)=(2xn)/(n+x^2)^2$
Che è crescente per $ x > 0$
Come ci accorgiamo essendo definita in $ mathbb(R) $ non ha estremo superiore.
Di conseguenza posso affermare che non converge uniformemente su $ mathbb(R) $ in quanto non è presente l'estremo superiore?
Risposte
Un po' di precisazioni sul linguaggio.
Che è positiva per $x>0$. Al massimo $f_n$ è crescente, scritto come prima quel "che" fa pensare che sia $g'_n$ ad essere crescente.
L'estremo superiore esiste sempre, quindi quello che dici dopo è mal posto; puoi spiegarti meglio per favore?
Il mio suggerimento: $f_n$ è pari, perciò possiamo limitarci a studiare il suo comportamento per $x\in [0,+\infty)$; in tale intervallo $f_n$ è monotòna crescente, perciò c'è un teorema che ti assicura qual è il suo estremo superiore.
"Luk_3D":
$g'(x)=(2xn)/(n+x^2)^2$
Che è crescente per $ x > 0$
Che è positiva per $x>0$. Al massimo $f_n$ è crescente, scritto come prima quel "che" fa pensare che sia $g'_n$ ad essere crescente.
"Luk_3D":
Come ci accorgiamo essendo definita in $ mathbb(R) $ non ha estremo superiore.
Di conseguenza posso affermare che non converge uniformemente su $ mathbb(R) $ in quanto non è presente l'estremo superiore?
L'estremo superiore esiste sempre, quindi quello che dici dopo è mal posto; puoi spiegarti meglio per favore?
Il mio suggerimento: $f_n$ è pari, perciò possiamo limitarci a studiare il suo comportamento per $x\in [0,+\infty)$; in tale intervallo $f_n$ è monotòna crescente, perciò c'è un teorema che ti assicura qual è il suo estremo superiore.
"Luk_3D":
...Come ci accorgiamo essendo definita in $ mathbb(R) $ non ha estremo superiore.
ORRORE.
. Ricominciamo un momento. $f_n(x)=\frac{x^2}{n+x^2}$ è una funzione pari, non negativa in $\mathbb{R}$ per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, inoltre $f_n(x)\to 0=f(x)$ per ogni $x\in\mathbb{R}$.$\mbox{sup}_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|=\mbox{sup}_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)|=\mbox{sup}_{x\in (0,+\infty)}f_n(x)$
Sull'intervallo $(0,+\infty), f_n(x)$ è strettamente crescente, di conseguenza l'estremo superiore coincide con il limite per $x\to +\infty$ di $f_n(x)$ (Teorema sul limite delle funzioni monotone.)
[Edit]: cavolo, sono proprio lento!
Di conseguenza intuisco di dover fare, non uccidetemi in caso di eresie:
$lim_(n->+oo)(lim_(x->+oo)(x^2)/(n+x^2)) $
Non mi sono mai trovato di fronte a una cosa simile, ma ad intuito, ragionando dall'interno all'esterno:
$lim_(n->+oo)(1)=1$
Che si rispecchierebbe dal grafico che ho ricostruito sul mio quaderno.
$lim_(n->+oo)(lim_(x->+oo)(x^2)/(n+x^2)) $
Non mi sono mai trovato di fronte a una cosa simile, ma ad intuito, ragionando dall'interno all'esterno:
$lim_(n->+oo)(1)=1$
Che si rispecchierebbe dal grafico che ho ricostruito sul mio quaderno.
Esatto. Quindi cosa concludi?
Che non converge uniformemente in quanto:
$ \mbox{sup}_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|=1!=0$
E che mi devo riguardare i teoremi sui limiti delle funzioni monotone.
Grazie mille dell'aiuto!
$ \mbox{sup}_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|=1!=0$
E che mi devo riguardare i teoremi sui limiti delle funzioni monotone.
Grazie mille dell'aiuto!
Un trucco per visualizzare meglio questo tipo di successioni:
\[
f_n(x)=f(x/\sqrt{n}), \]
dove
\[
f(y)=\frac{y^2}{1+y^2}.\]
Si tratta quindi di un singolo profilo, che viene dilatato.
\[
f_n(x)=f(x/\sqrt{n}), \]
dove
\[
f(y)=\frac{y^2}{1+y^2}.\]
Si tratta quindi di un singolo profilo, che viene dilatato.
"Mathita":
[quote="Luk_3D"]...Come ci accorgiamo essendo definita in $ mathbb(R) $ non ha estremo superiore.
ORRORE.
. Ricominciamo un momento. $f_n(x)=\frac{x^2}{n+x^2}$ è una funzione pari, non negativa in $\mathbb{R}$ per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, inoltre $f_n(x)\to 0=f(x)$ per ogni $x\in\mathbb{R}$.$\mbox{sup}_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|=\mbox{sup}_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)|=\mbox{sup}_{x\in (0,+\infty)}f_n(x)$
Sull'intervallo $(0,+\infty), f_n(x)$ è strettamente crescente, di conseguenza l'estremo superiore coincide con il limite per $x\to +\infty$ di $f_n(x)$ (Teorema sul limite delle funzioni monotone.)
[Edit]: cavolo, sono proprio lento![/quote]
Mentre per la funzione:
$f_n(x,y)=x^2/n$
come dovrei procedere? In questo caso il limite fa veramente $+oo$ essendo una parabola.
Beh, qua dovresti riuscire a dire qualcosa da solo, è molto simile al caso precedente.
"dissonance":
Beh, qua dovresti riuscire a dire qualcosa da solo, è molto simile al caso precedente.
In questo caso il sup come ho già detto è $+oo$ quindi non converge uniformemente, aspetto solo una conferma.
Per favore non perdiamoci in troppe parole ho domani l'esame!
In bocca al lupo per l'esame. Non mi perdo in ulteriori parole. Discutere ancora ti creerebbe solo confusione.
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