Convergenza uniforme successione di funzioni
Ciao ragazzi, stavo risolvendo il seguente esercizio
Si determinino i sottoinsiemi in cui la successione
$ fn(x)=1/(2n+1)(log(x^2+1)+1/2)^n $
converge puntualmente e quelli in cui la stessa converge uniformemente
Allora, ho trovato che per $x in [-sqrt(sqrt(e)-1),sqrt(sqrt(e)-1)]$ la successione converge puntualmente a $0$ mentre per altri valori diverge. Posso quindi dire che non converge uniformemente in tutto $RR$. Adesso non so come andare avanti per la convergenza uniforme.
Avevo pensato di restringermi all'intervallo di convergenza e, poichè la funzione logaritmo è strettamente crescente, per ottenere l'estremo superiore, dovrò calcolarmi la funzione in $sqrt(sqrt(e)-1)$. Otterrò così il sup che per $n->+oo$ va a $0$. Ho così che la convergenza uniforme c'è in $[-sqrt(sqrt(e)-1),sqrt(sqrt(e)-1)]$.
Ho ragionato bene oppure ho toppato completamente?
Si determinino i sottoinsiemi in cui la successione
$ fn(x)=1/(2n+1)(log(x^2+1)+1/2)^n $
converge puntualmente e quelli in cui la stessa converge uniformemente
Allora, ho trovato che per $x in [-sqrt(sqrt(e)-1),sqrt(sqrt(e)-1)]$ la successione converge puntualmente a $0$ mentre per altri valori diverge. Posso quindi dire che non converge uniformemente in tutto $RR$. Adesso non so come andare avanti per la convergenza uniforme.
Avevo pensato di restringermi all'intervallo di convergenza e, poichè la funzione logaritmo è strettamente crescente, per ottenere l'estremo superiore, dovrò calcolarmi la funzione in $sqrt(sqrt(e)-1)$. Otterrò così il sup che per $n->+oo$ va a $0$. Ho così che la convergenza uniforme c'è in $[-sqrt(sqrt(e)-1),sqrt(sqrt(e)-1)]$.
Ho ragionato bene oppure ho toppato completamente?
Risposte
Direi che va bene.
grazie per la conferma 
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