Convergenza uniforme successione di funzioni

[kay20]

Buonasera,
Ho difficoltà a completare questo esercizio
Verificare la convergenza e uniforme di questa successione di funzioni:
$ nxe^(nx) $ nell’intervallo (-inf,0)

Mi trovo che converge puntualmente alla funzione identicamente nulla, però quando vado ad analizzare la convergenza uniforme non mi trovo un massimo ma minimo. Quindi non c’e Convergenza uniforme?
Grazie

[Studente Anonimo]

"kay20":
... quando vado ad analizzare la convergenza uniforme non mi trovo un massimo ma un minimo ...

Non si comprende se ti stai riferendo a:

$f_n(x)-f(x)$

oppure a:

$|f_n(x)-f(x)|$

Ad ogni modo:

Successione di funzioni

$f_n(x)=nxe^(nx)$

Convergenza puntuale

$lim_(n->+oo)f_n(x)=f(x)$

$[x gt 0] rarr [lim_(n->+oo)f_n(x)=+oo]$

$[x lt= 0] rarr [lim_(n->+oo)f_n(x)=0] rarr [f(x)=0]$

Convergenza uniforme

$x lt= 0$

$s u p|f_n(x)-f(x)|=s u p|nxe^(nx)|=s u p[-nxe^(nx)]$

$(d[-nxe^(nx)])/(dx)=-n(nx+1)e^(nx)$

$[(d[-nxe^(nx)])/(dx) gt 0] rarr [x lt -1/n] rarr [nxe^(nx)$ crescente$]$

$[(d[-nxe^(nx)])/(dx)=0] rarr [x=-1/n] rarr [nxe^(nx)$ presenta un massimo$]$

$[(d[-nxe^(nx)])/(dx) lt 0] rarr [-1/n lt x lt= 0] rarr [nxe^(nx)$ decrescente$]$

$[lim_(x->-oo)-nxe^(nx)=0] ^^ [lim_(x->0^-)-nxe^(nx)=0]$

$s u p[-nxe^(nx)]=1/e$

$lim_(n->+oo)1/e=1/e ne 0$

In definitiva, non si ha convergenza uniforme per:

$[x lt= 0]$

Tuttavia, si può dimostrare che si ha convergenza uniforme per:

$AA \delta in RR^+: x lt= -\delta$