Convergenza uniforme successione di funzioni
Ciao, non capisco se ho fatto un ragionamento sbagliato.
(Ho messo tutti i passaggi per completezza, alcuni anche superflui per facilitarne la "lettura".. mi scuso per la lunghezza)
Allora data $f_n (x)= e^(-x^2 / n^2) , n>=1$ devo calcolare se la successione converge uniformemente su $\Lambda$ e su $[-a,a], a>0$.
Io ho fatto così:
$ Lambda ={x in D: lim_{n->infty} f_n(x) ∃ "finito"}={x in \mathbb {R} : lim_{n->infty} e^(-x^2/n^2) ∃ "finito" } $
$ lim_{n->infty} e^(-x^2/n^2)=1 $
allora concludo che $Lambda=\mathbb {R}$ e la funzione limite è $f(x)=1$.
Ora studio la convergenza uniforme su $Lambda$, cioè verifico se è vero ciò:
$ lim_{n->infty} ||f_n(x)-f(x)||_{infty,Lambda}=lim_{n->infty} "sup"_{x in Lambda}|f_n(x)-f(x)|= 0 $
$ |f_n(x)-f(x)|= |e^(-x^2/n^2)-1|={ ( e^(-x^2/n^2 )-1 " se " e^(-x^2/n^2) -1>=0 ),( -e^(-x^2/n^2 )+1 " se " e^(-x^2/n^2) -1<0) :} $
Studio le due disequazioni:
$1)$
$ e^(-x^2/n^2 )-1 " se " e^(-x^2/n^2) -1>=0 $
$ e^(-x^2/n^2 )>=1 $
$ -x^2/n^2 >=0 $
Essendo n sempre positivo allora: $ -x^2>=0 $ ; $ x^2<=0 $ cioè \( \Longleftrightarrow x=0 \)
$2)$
$ -e^(-x^2/n^2 )+1 " se " e^(-x^2/n^2 )-1<0 $
$ e^(-x^2/n^2) -1<0 $
$ -x^2/n^2 <0 $ cioè $ -x^2<0 $; $ x^2>0 $ cioè se $ x!=0 $
Ricapitolando allora:
$ |f_n(x)-f(x)|={ (e^(-x^2/n^2 )-1 " se " x=0 ),( -e^(-x^2/n^2 )+1 " se " x!=0) :} $
Ora finalmente posso procedere a controllare la convergenza:
Dubbio: posso dividere i due casi? Io l'ho fatto proprio così!
se $x=0$:
$ lim_{n->infty}"sup"_{x=0)" "e^(-x^2/n^2) -1= lim_{n->infty} 0=0 $
Quindi ho convergenza uniforme nel punto x=0.
Dubbio: Posso fare la convergenza uniforme per un solo punto? Non era più sensato fare la puntuale? Ma se avessi fatto la puntuale, qualcosa non sarebbe andato dato che la convergenza puntuale non implica quella convergente..
se $x!=0$:
$ lim_{n->infty}"sup"_{x!=0, x in Lambda)" "1-e^(-x^2/n^2) = lim_{n->infty} 1!=0 $
Non ho convergenza uniforme..
In conclusione, non c'è convergenza uniforme su $Lambda$.
Convergenza su $[-a,a], a>0$:
se $x=0$: Come prima ho convergenza uniforme
se $x!=0$:
$ lim_{n->infty}"sup"_{x in [-a,a])" "1-e^(-x^2/n^2) = lim_{n->infty} (1-e^(-x^2/n^2))_(x=a)= lim_{n->infty} 1-e^(-a^2/n^2)=0 $
Allora su $[-a,a], a >0$ ho convergenza uniforme.
Dalle soluzioni del libro ho visto che i risultati sono giusti ma non c'è il procedimento..
Ho sbagliato qualcosa? I miei dubbi sono sensati?
Vi ringrazio in anticipo per la pazienza!!
(Ho messo tutti i passaggi per completezza, alcuni anche superflui per facilitarne la "lettura".. mi scuso per la lunghezza)
Allora data $f_n (x)= e^(-x^2 / n^2) , n>=1$ devo calcolare se la successione converge uniformemente su $\Lambda$ e su $[-a,a], a>0$.
Io ho fatto così:
$ Lambda ={x in D: lim_{n->infty} f_n(x) ∃ "finito"}={x in \mathbb {R} : lim_{n->infty} e^(-x^2/n^2) ∃ "finito" } $
$ lim_{n->infty} e^(-x^2/n^2)=1 $
allora concludo che $Lambda=\mathbb {R}$ e la funzione limite è $f(x)=1$.
Ora studio la convergenza uniforme su $Lambda$, cioè verifico se è vero ciò:
$ lim_{n->infty} ||f_n(x)-f(x)||_{infty,Lambda}=lim_{n->infty} "sup"_{x in Lambda}|f_n(x)-f(x)|= 0 $
$ |f_n(x)-f(x)|= |e^(-x^2/n^2)-1|={ ( e^(-x^2/n^2 )-1 " se " e^(-x^2/n^2) -1>=0 ),( -e^(-x^2/n^2 )+1 " se " e^(-x^2/n^2) -1<0) :} $
Studio le due disequazioni:
$1)$
$ e^(-x^2/n^2 )-1 " se " e^(-x^2/n^2) -1>=0 $
$ e^(-x^2/n^2 )>=1 $
$ -x^2/n^2 >=0 $
Essendo n sempre positivo allora: $ -x^2>=0 $ ; $ x^2<=0 $ cioè \( \Longleftrightarrow x=0 \)
$2)$
$ -e^(-x^2/n^2 )+1 " se " e^(-x^2/n^2 )-1<0 $
$ e^(-x^2/n^2) -1<0 $
$ -x^2/n^2 <0 $ cioè $ -x^2<0 $; $ x^2>0 $ cioè se $ x!=0 $
Ricapitolando allora:
$ |f_n(x)-f(x)|={ (e^(-x^2/n^2 )-1 " se " x=0 ),( -e^(-x^2/n^2 )+1 " se " x!=0) :} $
Ora finalmente posso procedere a controllare la convergenza:
Dubbio: posso dividere i due casi? Io l'ho fatto proprio così!
se $x=0$:
$ lim_{n->infty}"sup"_{x=0)" "e^(-x^2/n^2) -1= lim_{n->infty} 0=0 $
Quindi ho convergenza uniforme nel punto x=0.
Dubbio: Posso fare la convergenza uniforme per un solo punto? Non era più sensato fare la puntuale? Ma se avessi fatto la puntuale, qualcosa non sarebbe andato dato che la convergenza puntuale non implica quella convergente..
se $x!=0$:
$ lim_{n->infty}"sup"_{x!=0, x in Lambda)" "1-e^(-x^2/n^2) = lim_{n->infty} 1!=0 $
Non ho convergenza uniforme..
In conclusione, non c'è convergenza uniforme su $Lambda$.
Convergenza su $[-a,a], a>0$:
se $x=0$: Come prima ho convergenza uniforme
se $x!=0$:
$ lim_{n->infty}"sup"_{x in [-a,a])" "1-e^(-x^2/n^2) = lim_{n->infty} (1-e^(-x^2/n^2))_(x=a)= lim_{n->infty} 1-e^(-a^2/n^2)=0 $
Allora su $[-a,a], a >0$ ho convergenza uniforme.
Dalle soluzioni del libro ho visto che i risultati sono giusti ma non c'è il procedimento..
Ho sbagliato qualcosa? I miei dubbi sono sensati?
Vi ringrazio in anticipo per la pazienza!!
Risposte
Non ho letto tutto ma già al primo limite
$$ \lim_{n \to \infty} e^{-\frac{x^2}{n^2}} = 0 \ne 1$$
c'è qualcosa che non va. EDIT: si qualcosa che non va nel mio post. Il limite fa 1.
$$ \lim_{n \to \infty} e^{-\frac{x^2}{n^2}} = 0 \ne 1$$
c'è qualcosa che non va. EDIT: si qualcosa che non va nel mio post. Il limite fa 1.
Non ho letto tutto il messaggio, però certo che te la sei complicata la vita!
Potevi osservare che $e^(-x^2/n^2)-1<=0$, che la funzione $f_n-f$ è pari e decrescente per $x>0$, quindi il lim del sup che devi fare è $\lim_{n \to \infty} 1-e^(-a^2/n^2)$, che ovviamente fa 0, quindi hai la convergenza uniforme sui compatti.
Per la cronaca, il primo limite è corretto.
Potevi osservare che $e^(-x^2/n^2)-1<=0$, che la funzione $f_n-f$ è pari e decrescente per $x>0$, quindi il lim del sup che devi fare è $\lim_{n \to \infty} 1-e^(-a^2/n^2)$, che ovviamente fa 0, quindi hai la convergenza uniforme sui compatti.
Per la cronaca, il primo limite è corretto.
Perdonatemi, non so cosa stessi pensando. Ovviamente fa 1.
"otta96":
Non ho letto tutto il messaggio, però certo che te la sei complicata la vita!
Eh lo so ma non ci avevo pensato eheh talaltro a lezione abbiamo sempre svolto tutti i passaggi quindi ci tenevo, almeno le prime volte, a fare così!
Sono contento che alla fine i miei risultati sono giusti, ma ancora ho quei dubbi
Posso dividere i due casi? E posso fare la convergenza uniforme per un solo punto? In tutti gli esempi che ho visto fa la convergenza uniforme solo su intervalli, in effetti ha anche più senso.
P.S. Intanto grazie ad entrambi!!
"studente-studente":
Eh lo so ma non ci avevo pensato eheh talaltro a lezione abbiamo sempre svolto tutti i passaggi quindi ci tenevo, almeno le prime volte, a fare così!
E fai senz'altro bene! Infatti non ti stavo dicendo di non fare tutti i passaggi necessari per risolvere l'esercizio, stavo dicendo che potevi evitare di fare QUEI calcoli.
"studente-studente":
Sono contento che alla fine i miei risultati sono giusti, ma ancora ho quei dubbi
Posso dividere i due casi? E posso fare la convergenza uniforme per un solo punto? In tutti gli esempi che ho visto fa la convergenza uniforme solo su intervalli, in effetti ha anche più senso.
La convergenza puntuale non ha senso farla nei punti, perché sarebbe equivalente a quella puntuale.
Per quanto riguarda il dividere i casi non si capisce bene cosa intendi in generale, quindi è difficile darti una risposta.
In questo esempio, tuttavia, direi che funziona, però non puoi trarre nessuna conclusione prima di aver fatto tutti e due i limiti (come invece hai fatto).
"studente-studente":
Quindi ho convergenza uniforme nel punto x=0.
Mi rendo conto che non ha senso dire convergenza uniforme per un punto, diciamo puntuale allora.
Però se un limite è per $x=0$ e uno per $x!=0$, perché non posso dirlo?
"otta96":
In questo esempio, tuttavia, direi che funziona, però non puoi trarre nessuna conclusione prima di aver fatto tutti e due i limiti (come invece hai fatto).
Però se un limite è per $x=0$ e uno per $x!=0$, perché non posso dirlo?
Si forse puoi dirlo, ci sta che abbia detto una sciocchezza, ma secondo me non ha tanto senso spezzare il problema come hai fatto tu (opinione personale).
Concordo con otta96, non ha senso spezzare in quella maniera. Voglio dire, quello che dici non è falso ma è inutile, infatti se non "spezzassi" otterresti comunque $0$ per $x=0$ come è giusto che sia.
Avete ragione, la prossima volta vedrò di evitare.. almeno faccio meno calcoli!
Grazie ad entrambi per la pazienza e per l'aiuto!!
Grazie ad entrambi per la pazienza e per l'aiuto!!
"otta96":
quindi il lim del sup che devi fare è $\lim_{n \to \infty} 1-e^(-a^2/n^2)$
Ho riprovato a fare l'esercizio oggi, per ripassare e, ahimè, non capisco una cosa.. perché hai cambiato il segno? Inoltre senza studio della derivata come hai fatto a capire quale è il sup? Tralaltro che il massimo sia $a$ o $-a$ poi diventa positivo dato che all'esponente ho $x^2$ ma effettivamente chi è il sup?
Ho cambiato il segno perché quella roba era negativa ed aveva un valore assoluto intorno, Poi, osservando che la funzione è pari, per trovare il sup basta cercarlo per gli $x>=0$, a questo punto puoi notare che la funzione è crescente (stai componendo una funzione decrescente ($-x^2/n^2$) con una crescente ($e^y$) e infine con una decrescente ($1-z$), di conseguenza il segno della disuguaglianza ti cambia 2 volte), quindi il sup lo trovi nell'estremo destro del dominio (dato che è chiuso), cioè in a.
Scusa se rispondo solo ora anche se ho visualizzato il giorno stesso!!
Grazie mille!!
Grazie mille!!
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