Convergenza uniforme successione di funzione
Buona sera a tutti.
Ho la seguente successione di funzioni $f_n(x)=log((nx^2)/(1+n^2x^2))$
Ho visto che per $n-> +oo$ si ha $f(x)=0$
Pertanto ho convergenza puntuale. Ho qualche difficoltà con la convergenza uniforme. Potreste aiutarmi?
Vi ringrazio. Alex
Ho la seguente successione di funzioni $f_n(x)=log((nx^2)/(1+n^2x^2))$
Ho visto che per $n-> +oo$ si ha $f(x)=0$
Pertanto ho convergenza puntuale. Ho qualche difficoltà con la convergenza uniforme. Potreste aiutarmi?
Vi ringrazio. Alex
Risposte
"bad.alex":
Buona sera a tutti.
Ho la seguente successione di funzioni $f_n(x)=log((nx^2)/(1+n^2x^2))$
Ho visto che per $n-> +oo$ si ha $f(x)=0$
Pertanto ho convergenza puntuale. Ho qualche difficoltà con la convergenza uniforme. Potreste aiutarmi?
Vi ringrazio. Alex
deriva $f_n(x)$ e poi ti calcoli per quali valori di $x$ risulta la derivata di $f_n(x)$ uguale a $0$. sostituisci il valore trovato ad $n$ e poi vedi se se la successione di funzione ottenuta converge. è più difficile a dirsi che a farsi
E' importante specificare l'intervallo su cui stai studiando la convergenza uniforme (una funzione può convergere uniformemente su un intervallo e allo stesso tempo convergere solo puntualmente se si cambia intervallo).
Devi trovare il sup della funzione sull'intervallo considerato e poi fare il limite di | supF(x)-L| rispetto a n (dove L è il limite puntuale)... se tale limite è 0 la funzione converge uniformemente altrimenti converge solo puntualmente.
Devi trovare il sup della funzione sull'intervallo considerato e poi fare il limite di | supF(x)-L| rispetto a n (dove L è il limite puntuale)... se tale limite è 0 la funzione converge uniformemente altrimenti converge solo puntualmente.
@bad.alex: Mi sa che hai dimenticato un [tex]$n^2$[/tex] al numeratore... Altrimenti non c'è convergenza.
"klarence":
E' importante specificare l'intervallo su cui stai studiando la convergenza uniforme (una funzione può convergere uniformemente su un intervallo e allo stesso tempo convergere solo puntualmente se si cambia intervallo).
Devi trovare il sup della funzione sull'intervallo considerato e poi fare il limite di | supF(x)-L| rispetto a n (dove L è il limite puntuale)... se tale limite è 0 la funzione converge uniformemente altrimenti converge solo puntualmente.
Non so risolvere il problema considerando quello che scrivi. Trovo incredibili difficoltà nella convergenza uniforme. Per gugo: la funzione è quella scritta
Potreste dirmi se la derivata va fatta rispetto a x? ( è per vedere il discorso della monotonia per l'estremo superiore? va fatta la derivazione sempre in questi casi? Come si fanno a determinare gli intervalli di convergenza uniforme? Potreste farmi qualche esempio riguardo a ciò? Vi ringrazio).
Scusatemi, ma a lezione non è stato trattato molto bene 'argomento successioni e serie e sui libri non riesco a capirli.
Spero abbiate pazienza nello spiegarmi, se possibile.
Alex
Se la successione è quella scritta, allora non c'è convergenza da nessuna parte.
Infatti per [tex]$x\neq 0$[/tex] si ha:
[tex]$\lim_n \frac{nx^2}{1+n^2x^2} =0^+$[/tex]
ed al mio paese:
[tex]$\lim_n \ln \frac{nx^2}{1+n^2x^2} = \lim_{y\to 0^+} \ln y =-\infty$[/tex].
Ergo o è sbagliato il testo (ed, in particolare, manca un quadrato all'esponente della [tex]$n$[/tex] al numeratore), oppure la successione non converge da nessuna parte verso alcunché di sensato.
Infatti per [tex]$x\neq 0$[/tex] si ha:
[tex]$\lim_n \frac{nx^2}{1+n^2x^2} =0^+$[/tex]
ed al mio paese:
[tex]$\lim_n \ln \frac{nx^2}{1+n^2x^2} = \lim_{y\to 0^+} \ln y =-\infty$[/tex].
Ergo o è sbagliato il testo (ed, in particolare, manca un quadrato all'esponente della [tex]$n$[/tex] al numeratore), oppure la successione non converge da nessuna parte verso alcunché di sensato.
In primis quoto il post di Gugo.
@Mazzy io non ho capito bene quel procedimento. Tu calcoli i valori di $x$ in cui convergerebbe la successione delle derivate della successione iniziale alla derivata del limite della successione di partenza, e in quell'insieme la successione iniziale convergerebbe uniformemente? Questa è l'interpretazione?
Non ho capito cosa intendi con "sostituisci il valore trovato ad $n$".
@Mazzy io non ho capito bene quel procedimento. Tu calcoli i valori di $x$ in cui convergerebbe la successione delle derivate della successione iniziale alla derivata del limite della successione di partenza, e in quell'insieme la successione iniziale convergerebbe uniformemente? Questa è l'interpretazione?
Non ho capito cosa intendi con "sostituisci il valore trovato ad $n$".
"regim":
In primis quoto il post di Gugo.
@Mazzy io non ho capito bene quel procedimento. Tu calcoli i valori di $x$ in cui convergerebbe la successione delle derivate della successione iniziale alla derivata della successione di partenza, e in quell'insieme la successione iniziale convergerebbe uniformemente? Questa è l'interpretazione?
Non ho capito cosa intendi con "sostituisci il valore trovato ad $n$".
Penso che voglia studiare la successione di funzioni come una funzione che ha come parametro $n$ e dia erroneamente per scontato che i punti stazionari siano punti di massimo per la funzione.
@Klarence
Si infatti penso anchio, sostituendo il valore ad $n$ scompare infatti la successione di funzioni.
Applicando la condizione di cauchy si vede che, in effetti, la convergenza uniforme si ha in ogni intervallo dell'insieme di definizione della successione, ma non c'è su tutto l'insieme.
PS
Ovviamente sto parlando della successione modificata da Gugo.
Edit: su tutto l'insieme non ne sono convinto ancora se ci sia o meno.
Edit: Vicino allo zero non c'è, ma per intervalli illimitati si.
Si infatti penso anchio, sostituendo il valore ad $n$ scompare infatti la successione di funzioni.
Applicando la condizione di cauchy si vede che, in effetti, la convergenza uniforme si ha in ogni intervallo dell'insieme di definizione della successione, ma non c'è su tutto l'insieme.
PS
Ovviamente sto parlando della successione modificata da Gugo.
Edit: su tutto l'insieme non ne sono convinto ancora se ci sia o meno.
Edit: Vicino allo zero non c'è, ma per intervalli illimitati si.
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