Convergenza uniforme successione derivate
Considero la successione di funzioni $(f_n)_(n\inNN)$ definite da $f_n(x)=1/nlog(1+e^(nx))$.
Questa successione converge al limite puntuale $f(x)={(x,if x>=0),(0,if x<0):}$.
La convergenza è uniforme su ogni intervallo della forma $(-oo,M]$ con $M\inRR$ mentre non c'è convergenza uniforme in nessun intorno di $+oo$ in quanto $lim_(x->+oo)f_n(x)=+oo$.
Considero ora la succesione delle derivate $(f_n')_(n\inNN)$ dove ho che $f_n'(x)=e^(nx)/(1+e^(nx))$.
Questa successione converge al limite puntuale $g(x)={(1,if x>0),(1/2,if x=0),(0,if x<0):}$.
Vediamo se la convergenza è uniforme su un intorno di $+oo$ (fissiamo dunque $M>0$):
$"sup"_(x\in[M,+oo))|f_n(x)-g(x)|=$
$="sup"_(x\in[M,+oo))|e^(nx)/(1+e^(nx))-1|=$
$="sup"_(x\in[M,+oo))|-1/(1+e^(nx))|=$
$="sup"_(x\in[M,+oo))(1/(1+e^(nx)))=$
$=1/(1+e^(nM))$
e siccome $lim_(n->oo)1/(1+e^(nM))=0$ si ha convergenza uniforme in un intorno di $+oo$.
Ora mi chiedevo, sempre che io non abbia sbagliato qualcosa nelle considerazioni precedenti, non è contraddittorio il fatto che in un intorno di $+oo$ la successione delle derivate converga uniformemente e la successione iniziale no?
Per essere precisi a mio parere contraddice il seguente teorema.
Teorema:
Sia $I$ intervallo di $RR$, sia $f_n:I->RR$, $n\inNN$, una successione di funzioni derivabili.
Supponiamo che:
1) esista $x_0\inI$ tale che la successione $(f_n(x_0))_(n\inNN)$ converge;
2) la successione di funzioni $(f_n')_(n\inNN)$ converge uniformemente ad una funzione $g:I->RR$.
Allora la successione $(f_n)_(n\inNN)$ converge uniformemente su $I$ ad una funzione $f:I->RR$, $f$ è derivabile ed $f'(x)=g(x)$ per ogni $x\inI$.
Mi date una mano a capire come queste due cose sono compatibili?
Questa successione converge al limite puntuale $f(x)={(x,if x>=0),(0,if x<0):}$.
La convergenza è uniforme su ogni intervallo della forma $(-oo,M]$ con $M\inRR$ mentre non c'è convergenza uniforme in nessun intorno di $+oo$ in quanto $lim_(x->+oo)f_n(x)=+oo$.
Considero ora la succesione delle derivate $(f_n')_(n\inNN)$ dove ho che $f_n'(x)=e^(nx)/(1+e^(nx))$.
Questa successione converge al limite puntuale $g(x)={(1,if x>0),(1/2,if x=0),(0,if x<0):}$.
Vediamo se la convergenza è uniforme su un intorno di $+oo$ (fissiamo dunque $M>0$):
$"sup"_(x\in[M,+oo))|f_n(x)-g(x)|=$
$="sup"_(x\in[M,+oo))|e^(nx)/(1+e^(nx))-1|=$
$="sup"_(x\in[M,+oo))|-1/(1+e^(nx))|=$
$="sup"_(x\in[M,+oo))(1/(1+e^(nx)))=$
$=1/(1+e^(nM))$
e siccome $lim_(n->oo)1/(1+e^(nM))=0$ si ha convergenza uniforme in un intorno di $+oo$.
Ora mi chiedevo, sempre che io non abbia sbagliato qualcosa nelle considerazioni precedenti, non è contraddittorio il fatto che in un intorno di $+oo$ la successione delle derivate converga uniformemente e la successione iniziale no?
Per essere precisi a mio parere contraddice il seguente teorema.
Teorema:
Sia $I$ intervallo di $RR$, sia $f_n:I->RR$, $n\inNN$, una successione di funzioni derivabili.
Supponiamo che:
1) esista $x_0\inI$ tale che la successione $(f_n(x_0))_(n\inNN)$ converge;
2) la successione di funzioni $(f_n')_(n\inNN)$ converge uniformemente ad una funzione $g:I->RR$.
Allora la successione $(f_n)_(n\inNN)$ converge uniformemente su $I$ ad una funzione $f:I->RR$, $f$ è derivabile ed $f'(x)=g(x)$ per ogni $x\inI$.
Mi date una mano a capire come queste due cose sono compatibili?
Risposte
C'è qualcosa che non mi torna, già in principio: il limite puntuale di quella successione di funzioni è intanto \[\displaystyle f(x)= \begin{cases} x & \text{if} \ x >0 \\ 0 & \text{if} \ x \le 0 \end{cases} \] Consideriamo quindi un intervallo del tipo \(\displaystyle I=[\epsilon, +\infty ) \) con \(\displaystyle \epsilon>0 \) e ricaviamo \[\displaystyle \sup_{x \in I}|f_n(x) - x | \]
E' infatti \[\displaystyle g'_n(x) = f'_n (x) - 1 = \frac{e^{xn}}{1+e^{xn}} -1<0 \quad \text{per} \ x \in I \]
Ne segue che \(\displaystyle g_n(x)=f_n(x) - x \) è decrescente; quindi \[\displaystyle \sup_{x \in I} g_n(x)=g_n(\epsilon)= \frac{1}{n} \log(1+e^{\epsilon n}) - \epsilon \] e passando al limite si ottiene che \(\displaystyle g_{n}(\epsilon) \to 0 \) se \(\displaystyle n \to \infty \).
E' infatti \[\displaystyle g'_n(x) = f'_n (x) - 1 = \frac{e^{xn}}{1+e^{xn}} -1<0 \quad \text{per} \ x \in I \]
Ne segue che \(\displaystyle g_n(x)=f_n(x) - x \) è decrescente; quindi \[\displaystyle \sup_{x \in I} g_n(x)=g_n(\epsilon)= \frac{1}{n} \log(1+e^{\epsilon n}) - \epsilon \] e passando al limite si ottiene che \(\displaystyle g_{n}(\epsilon) \to 0 \) se \(\displaystyle n \to \infty \).
Io avevo escluso la convergenza uniforme di $f$ nell'intorno di $+oo$ in quanto $lim_(x->+oo)f_n(x)=+oo$, non è così?
Non mi pare che questo cozzi in qualche modo con la definizione di convergenza uniforme... Anche perché, secondo il tuo ragionamento, tutte le successioni di funzioni \(\displaystyle f_n(x) \) t.c. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f_n(x)=+\infty \) non potrebbero convergere uniformemente.
Se non ti piace questo controesempio, prendi \(\displaystyle f_n(x)= \sqrt{ x^2 + \frac{1}{n} } \)
Se non ti piace questo controesempio, prendi \(\displaystyle f_n(x)= \sqrt{ x^2 + \frac{1}{n} } \)
Mi hai convinto! Grazie mille!
Grazie mille!
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