Convergenza uniforme sin(nx) e sin(nx)/n
Considerata la restrizione all'intervallo $[0,2pi]$ dei termini delle due sucessioni di funzioni :
$f_n =sin(nx) $ e $f_n= sin(nx)/n$
Possiamo dire che sono uniformemente convergenti alla funzione $f(x)=0$ in tale intervallo?
Personalmente , ho notato che entrambe le successioni diventano NON REGOLARI se calcolate nei multipli di $pi/2$
nello specifico : per la prima si ripete la sequenza $1,0,-1,0$ e per la seconda la sequenza $1,0,-1/n,0$.
Quindi le due successioni di funzioni non ammettono limite puntuale in $x=pi/2$.
Ora "se non c'è convergenza puntuale in un punto dell'intervallo $[0,2pi]$ allora non c'è nemmeno convergenza uniforme in tale intervallo".
Però il testo afferma che c'è Convergenza uniforme , perché?
$f_n =sin(nx) $ e $f_n= sin(nx)/n$
Possiamo dire che sono uniformemente convergenti alla funzione $f(x)=0$ in tale intervallo?
Personalmente , ho notato che entrambe le successioni diventano NON REGOLARI se calcolate nei multipli di $pi/2$
nello specifico : per la prima si ripete la sequenza $1,0,-1,0$ e per la seconda la sequenza $1,0,-1/n,0$.
Quindi le due successioni di funzioni non ammettono limite puntuale in $x=pi/2$.
Ora "se non c'è convergenza puntuale in un punto dell'intervallo $[0,2pi]$ allora non c'è nemmeno convergenza uniforme in tale intervallo".
Però il testo afferma che c'è Convergenza uniforme , perché?
Risposte
La prima successione (puntualmente) non converge a nulla di serio su sottoinsiemi "interessanti" di $RR$.
La seconda converge uniformemente su tutto l'asse reale perché $|(sin nx)/n|<= 1/n$.
La seconda converge uniformemente su tutto l'asse reale perché $|(sin nx)/n|<= 1/n$.
Si , sono d'accordo.
A questo punto il dubbio è:
1. visto che la prima successione è sostanzialmente non regolare su un qualsiasi sottoinsieme di $R$,allora è corretto affermare che : per la contronominale alla proposizione "CONVERGENZA UNIFORME $-->$ CONVERGENZA PUNTUALE" , la successione sicuramente NON CONVERGE UNIFORMEMENTE in un qualsiasi sottoinsieme di R ?
2.sulla seconda successione , studiando la convergenza puntuale mi capitano punti in cui la successione è non regolare .
Ma questo (iterando la logica 1.) non mi dovrebbe portare a dire che "la successione NON CONVERGE UNIFORMEMENTE in un qualsiasi sottoinsieme di $R$ " ?
Il dubbio (2) nasce dal fatto che : questa seconda successione di funzioni (puntualmente) CONVERGE solo in $x=0$ e nei multipli interi di $2pi$.
A questo punto il dubbio è:
1. visto che la prima successione è sostanzialmente non regolare su un qualsiasi sottoinsieme di $R$,allora è corretto affermare che : per la contronominale alla proposizione "CONVERGENZA UNIFORME $-->$ CONVERGENZA PUNTUALE" , la successione sicuramente NON CONVERGE UNIFORMEMENTE in un qualsiasi sottoinsieme di R ?
2.sulla seconda successione , studiando la convergenza puntuale mi capitano punti in cui la successione è non regolare .
Ma questo (iterando la logica 1.) non mi dovrebbe portare a dire che "la successione NON CONVERGE UNIFORMEMENTE in un qualsiasi sottoinsieme di $R$ " ?
Il dubbio (2) nasce dal fatto che : questa seconda successione di funzioni (puntualmente) CONVERGE solo in $x=0$ e nei multipli interi di $2pi$.
"pepp1995":
1. visto che la prima successione è sostanzialmente non regolare su un qualsiasi sottoinsieme di $R$,allora è corretto affermare che : per la contronominale alla proposizione "CONVERGENZA UNIFORME $-->$ CONVERGENZA PUNTUALE" , la successione sicuramente NON CONVERGE UNIFORMEMENTE in un qualsiasi sottoinsieme di R ?
Aspetta.
Come ho scritto sopra, non hai convergenza puntuale su sottoinsiemi "interessanti" di $RR$, ma non è vero che la successione non converge in nessun sottoinsieme di $RR$.
Infatti, la successione $sin nx$ converge puntualmente ed uniformemente nell'insieme $X=\{ 0, pm pi, pm 2pi, ...\} = \{k\pi\}_(k in ZZ) \subseteq RR$ (verso la funzione nulla in $X$)... Solo che questo insieme di convergenza è brutto dal punto di vista dell'Analisi, perché è fatto da punti isolati.
Per quanto riguarda la contronominale, è ovvio che se non convergi nemmeno puntualmente non puoi convergere uniformemente.
"pepp1995":
2.sulla seconda successione , studiando la convergenza puntuale mi capitano punti in cui la successione è non regolare .
Ma questo (iterando la logica 1.) non mi dovrebbe portare a dire che "la successione NON CONVERGE UNIFORMEMENTE in un qualsiasi sottoinsieme di $R$ " ?
Il dubbio (2) nasce dal fatto che : questa seconda successione di funzioni (puntualmente) CONVERGE solo in $x=0$ e nei multipli interi di $2pi$.
No, hai sbagliato alla grande.
Rifai i calcoli.
Con la prima successione non ho più problemi.
Con la seconda successione, ho provato che "la successione numerica delle distanze tra le $f_n$ e la $f$ è infinitesima"
e quindi ho convergenza uniforme in tutto $R$ .
Visto che ho convergenza uniforme in tutto R --> dovrei avere convergenza puntuale in qualsiasi x reale.
Ora però andando a fare i calcoli mi trovo che:
" per $x=pi/2$
$f_1(pi/2)= sin(pi/2)=1$
$f_2(pi/2)=sin(pi)/2=0$
$f_3(pi/2)=sin(3pi/2)/3=-1/3$
$f_4(pi/2)=sin(2pi)/4=0$
$f_5(pi/2)=sin(5/2pi)/5=1$
$f_6(pi/2)=sin(3pi)/6=0$
$f_7(pi/2)=sin(7/2pi)/7=-1/7$
$f_8(pi/2)=sin(4pi)/8=0$
...
L'estratta dei termini PARI è la successione costante con tutti i termini uguali a $0$ (quindi converge a $0$)
L'estratta dei termini DISPARI è una successione che assume alternativamente valori $1$ e $-1/n$ quindi è non regolare.
Le due estratte non ammettono lo stesso limite e quindi la successione di partenza è NON REGOLARE"
Da questi calcoli mi viene da dire che" la successione di funzioni non ammette limite puntuale in $x=pi/2$".
Mi rendo conto che per la convergenza uniforme dovrei avere anche quella puntuale in tutto $R$ , ma non capisco perché facendo il calcolo per questo preciso punto ho una successione che non converge alla funzione nulla.
Con la seconda successione, ho provato che "la successione numerica delle distanze tra le $f_n$ e la $f$ è infinitesima"
e quindi ho convergenza uniforme in tutto $R$ .
Visto che ho convergenza uniforme in tutto R --> dovrei avere convergenza puntuale in qualsiasi x reale.
Ora però andando a fare i calcoli mi trovo che:
" per $x=pi/2$
$f_1(pi/2)= sin(pi/2)=1$
$f_2(pi/2)=sin(pi)/2=0$
$f_3(pi/2)=sin(3pi/2)/3=-1/3$
$f_4(pi/2)=sin(2pi)/4=0$
$f_5(pi/2)=sin(5/2pi)/5=1$
$f_6(pi/2)=sin(3pi)/6=0$
$f_7(pi/2)=sin(7/2pi)/7=-1/7$
$f_8(pi/2)=sin(4pi)/8=0$
...
L'estratta dei termini PARI è la successione costante con tutti i termini uguali a $0$ (quindi converge a $0$)
L'estratta dei termini DISPARI è una successione che assume alternativamente valori $1$ e $-1/n$ quindi è non regolare.
Le due estratte non ammettono lo stesso limite e quindi la successione di partenza è NON REGOLARE"
Da questi calcoli mi viene da dire che" la successione di funzioni non ammette limite puntuale in $x=pi/2$".
Mi rendo conto che per la convergenza uniforme dovrei avere anche quella puntuale in tutto $R$ , ma non capisco perché facendo il calcolo per questo preciso punto ho una successione che non converge alla funzione nulla.
Ah, quindi tu asserisci che $sin (5/2 pi) =5$, ad esempio...
Mea culpa !
$sin(5/2pi)= 1$
$sin(5/2pi)/5 = 1/5$
Come confermato dalla calcolatrice e da Wolfram .
$sin(5/2pi)= 1$
$sin(5/2pi)/5 = 1/5$
Come confermato dalla calcolatrice e da Wolfram .
"pepp1995":
$sin(5/2pi)=- sqrt(2)/2 $
Guarda, è meglio se vai a ripeterti un po' di Trigonometria elementare.
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